Skal finne en potensrekke til ln(2-x)

[al-Khwarizmi]

Hei skal finne potensrekken til denne:

\ln(2-x) og går frem på følgende måte:

ln(2-x) = ln(2(1-(x/2)) =ln2 + ln(1-(x/2)) = [symbol:sum] (n=0, [symbol:uendelig] ) (x/2)^(n+1) / (n+1) = [symbol:sum] (n=1, [symbol:uendelig] ) (x/2)^n /(2^n)n og her stopper jeg...

noen forsalg??

[daofeishi]

Vi kan benytte oss av at en potensrekke kan integreres innenfor sitt konvergensintervall.

$\ln (2+z)=\int \frac{1}{2+z}\mathrm{d}z=\frac{1}{2}\int 1-\frac{z}{2}+\frac{z^2}{4}-...\mathrm{d}z$

z = -x

(Takk fish, for å peke ut feilen)

[al-Khwarizmi]

Ja?? sier ikke så mye.. summen skal vel ikke være negativ?

[fish]

Hvis du har tilgang på rekka til $\ln (1+x)$, kan du følge oppskriften som du begynte på. Hvis ikke kan du gjøre som daofeishi, men det er en liten feil i det han skriver. Vi har

$\frac{1}{2+z}=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{z}{2}}=\frac{1}{2}(1-\frac{z}{2}+{\left(\frac{z}{2}\right)}^2-\dots +(-1{)}^n{\left(\frac{z}{2}\right)}^n+\dots )$

som gir, dersom integrasjonskonstanten bestemmes korrekt (den blir $\ln 2$), at

$\ln (2+z)=\frac{1}{2}\int (1-\frac{z}{2}+{\left(\frac{z}{2}\right)}^2-\dots +(-1{)}^n{\left(\frac{z}{2}\right)}^n+\dots )dz$

Til slutt setter man altså $z=-x$, slik at



$\ln (2-x)=\ln 2-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{n+1}}{(n+1)2^{n+1}}$

[al-Khwarizmi]

takk

[Terminator]

år vi først snakker om logaritmer.. Kan noen gi en generell formel for
ln(a + b) ?

[KjetilEn]

Skjønner ikke helt hva du vil frem til her eller hensikten med det, men:

$ln(a+b)=ln(e^{ln(a+b)})$


$e^{ln(a+b)}=a+b$



$ln(a+b)=x$

$\Rightarrow e^{ln(a+b)}=e^x$

$\Rightarrow a+b=e^x$


Var det noe i de baner du tenkte?

(Er kanskje litt på jordet her, siden jeg ikke har lest resten av oppgavene over )

[Terminator]

Hadde vel håpt på noe som liknet sin(u+v), men men..

[Magnus]

Hva mener du med generell formel?