En kuleformet tank skal tappes for vann. Den er full i starten og har en "kran" i bunn. Dersom vannmengden skal reduseres med en viss prosent, f.eks 13%, hvor mye reduseres vannhøyden med da? Hvordan regner man ut det? Bli litt komplisert ettersom vannet skal synke nedover i kule...?
Noen tips?
trine
tapping av kuleformet tank
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
For å gjøre det enkelt kan du jo si at kula har radius 1, da.
Tenk integrasjon.
Du kan tegne opp kula sett fra siden, men vridd 90 grader, slik at toppen av tanken er ved x = 1 i et koordinatsystem, mens bunnen av tanken er på x = -1.
Så finner du en funksjon A(x) som angir arealet av snittflata gjennom kuletanken for x-verdiene mellom -1 og 1. Det du kan gjøre da, er å bruke Pytagoras til å finne radiusen til snittflata, som naturligvis blir en sirkel, og så putte inn i [tex]\pi r^2[/tex]-formelen for å få arealet av snittflata.
Du vet at volumet av hele kula er lik integralet av denne arealfunksjonen fra -1 til 1.
Så blir oppgava; du skal finne en verdi a slik at integralet fra -1 til a er lik 87 % av det integralet du får når du integrerer fra -1 til 1.
Når du har denne a-en så klarer du vel resten selv.
Tenk integrasjon.
Du kan tegne opp kula sett fra siden, men vridd 90 grader, slik at toppen av tanken er ved x = 1 i et koordinatsystem, mens bunnen av tanken er på x = -1.
Så finner du en funksjon A(x) som angir arealet av snittflata gjennom kuletanken for x-verdiene mellom -1 og 1. Det du kan gjøre da, er å bruke Pytagoras til å finne radiusen til snittflata, som naturligvis blir en sirkel, og så putte inn i [tex]\pi r^2[/tex]-formelen for å få arealet av snittflata.
Du vet at volumet av hele kula er lik integralet av denne arealfunksjonen fra -1 til 1.
Så blir oppgava; du skal finne en verdi a slik at integralet fra -1 til a er lik 87 % av det integralet du får når du integrerer fra -1 til 1.
Når du har denne a-en så klarer du vel resten selv.
Og nå kan du prøve deg litt på egen hånd. IKKE SE PÅ DET UNDER FØR DU HAR PRØVD SELV!
Slik gjorde jeg det:
Vi finner først A(x). Siden radius i kula er konstant lik 1, og vi får gitt x-verdien i A(x), er jo [tex]r^2 = 1 - x^2[/tex].
Da er [tex]A(x) = \pi(1 - x^2)[/tex].
Vi skal finne volumet fra -1 til a, som da er [tex]\pi \int_{-1}^a \left ( 1 - x^2 \right ) {\rm d}x = \pi \left [x - \frac{1}{3}x^3 \right ]_{-1}^a = \pi \left [ (a - \frac{1}{3}a^3) - (-1 + \frac{1}{3}) \right] = \pi \left [- \frac{1}{3}a^3 + a + \frac{2}{3} \right ][/tex]
Vi skal finne volumet av hele tanken. Vi setter da a = 1, og får
[tex]V = \pi \left [-\frac{1}{3} + 1 + \frac{2}{3} \right] = \frac{4}{3}\pi[/tex]
Dette kunne vi også funnet ved å bruke formel for volum av ei kule. (Det er faktisk ved integrasjon vi kan bevise at denne formelen stemmer!)
Vi vil nå finne en a slik at volumet i tanken reduseres til en faktor [tex]p[/tex] av opprinnelig volum. I vårt tilfelle er jo da [tex]p = 0.87[/tex]. En slik a må tilfredsstille likningen
[tex]\pi \left [- \frac{1}{3}a^3 + a + \frac{2}{3} \right ] = p \cdot \frac{4}{3}\pi[/tex].
[tex]- \frac{1}{3}a^3 + a + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}p[/tex]
[tex]- \frac{1}{3}a^3 + a + \frac{2}{3} - \frac{4}{3}p = 0[/tex]
Vi kan eliminere løsningene som ikke gir [tex]a \in \[ -1\ ,\ 1 \][/tex].
I ditt tilfelle, med [tex]p = 0.87[/tex], får vi løsningene (gjør dette numerisk, hvis du vil kose deg med å løse tredjegradslikningen analytisk så gjerne for meg)
[tex]a \approx 1.3916[/tex], [tex]a \approx 0.5483[/tex], [tex]a \approx -1.9398[/tex].
Den første og den siste løsningen kan elimineres, siden de ikke tilfredsstiller det siste kravet vårt. Da sitter vi igjen med [tex]a \approx 0.5483[/tex].
Altså har vannstanden, som opprinnelig var 2 (husk at vi hadde radius 1), gått ned til 0.5483 - (-1) = 1.5483. (Husk at bunnen av tanken er i x = -1, ikke i x = 0). Altså har vi fått en reduksjon på [tex]\frac{2-1.5483}{2} \approx 22.6 \percent[/tex].
Slik gjorde jeg det:
Vi finner først A(x). Siden radius i kula er konstant lik 1, og vi får gitt x-verdien i A(x), er jo [tex]r^2 = 1 - x^2[/tex].
Da er [tex]A(x) = \pi(1 - x^2)[/tex].
Vi skal finne volumet fra -1 til a, som da er [tex]\pi \int_{-1}^a \left ( 1 - x^2 \right ) {\rm d}x = \pi \left [x - \frac{1}{3}x^3 \right ]_{-1}^a = \pi \left [ (a - \frac{1}{3}a^3) - (-1 + \frac{1}{3}) \right] = \pi \left [- \frac{1}{3}a^3 + a + \frac{2}{3} \right ][/tex]
Vi skal finne volumet av hele tanken. Vi setter da a = 1, og får
[tex]V = \pi \left [-\frac{1}{3} + 1 + \frac{2}{3} \right] = \frac{4}{3}\pi[/tex]
Dette kunne vi også funnet ved å bruke formel for volum av ei kule. (Det er faktisk ved integrasjon vi kan bevise at denne formelen stemmer!)
Vi vil nå finne en a slik at volumet i tanken reduseres til en faktor [tex]p[/tex] av opprinnelig volum. I vårt tilfelle er jo da [tex]p = 0.87[/tex]. En slik a må tilfredsstille likningen
[tex]\pi \left [- \frac{1}{3}a^3 + a + \frac{2}{3} \right ] = p \cdot \frac{4}{3}\pi[/tex].
[tex]- \frac{1}{3}a^3 + a + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}p[/tex]
[tex]- \frac{1}{3}a^3 + a + \frac{2}{3} - \frac{4}{3}p = 0[/tex]
Vi kan eliminere løsningene som ikke gir [tex]a \in \[ -1\ ,\ 1 \][/tex].
I ditt tilfelle, med [tex]p = 0.87[/tex], får vi løsningene (gjør dette numerisk, hvis du vil kose deg med å løse tredjegradslikningen analytisk så gjerne for meg)
[tex]a \approx 1.3916[/tex], [tex]a \approx 0.5483[/tex], [tex]a \approx -1.9398[/tex].
Den første og den siste løsningen kan elimineres, siden de ikke tilfredsstiller det siste kravet vårt. Da sitter vi igjen med [tex]a \approx 0.5483[/tex].
Altså har vannstanden, som opprinnelig var 2 (husk at vi hadde radius 1), gått ned til 0.5483 - (-1) = 1.5483. (Husk at bunnen av tanken er i x = -1, ikke i x = 0). Altså har vi fått en reduksjon på [tex]\frac{2-1.5483}{2} \approx 22.6 \percent[/tex].