Og nå kan du prøve deg litt på egen hånd. IKKE SE PÅ DET UNDER FØR DU HAR PRØVD SELV!
Slik gjorde jeg det:
Vi finner først A(x). Siden radius i kula er konstant lik 1, og vi får gitt x-verdien i A(x), er jo [tex]r^2 = 1 - x^2[/tex].
Da er [tex]A(x) = \pi(1 - x^2)[/tex].
Vi skal finne volumet fra -1 til a, som da er [tex]\pi \int_{-1}^a \left ( 1 - x^2 \right ) {\rm d}x = \pi \left [x - \frac{1}{3}x^3 \right ]_{-1}^a = \pi \left [ (a - \frac{1}{3}a^3) - (-1 + \frac{1}{3}) \right] = \pi \left [- \frac{1}{3}a^3 + a + \frac{2}{3} \right ][/tex]
Vi skal finne volumet av hele tanken. Vi setter da a = 1, og får
[tex]V = \pi \left [-\frac{1}{3} + 1 + \frac{2}{3} \right] = \frac{4}{3}\pi[/tex]
Dette kunne vi også funnet ved å bruke formel for volum av ei kule. (Det er faktisk ved integrasjon vi kan bevise at denne formelen stemmer!)
Vi vil nå finne en a slik at volumet i tanken reduseres til en faktor [tex]p[/tex] av opprinnelig volum. I vårt tilfelle er jo da [tex]p = 0.87[/tex]. En slik a må tilfredsstille likningen
[tex]\pi \left [- \frac{1}{3}a^3 + a + \frac{2}{3} \right ] = p \cdot \frac{4}{3}\pi[/tex].
[tex]- \frac{1}{3}a^3 + a + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}p[/tex]
[tex]- \frac{1}{3}a^3 + a + \frac{2}{3} - \frac{4}{3}p = 0[/tex]
Vi kan eliminere løsningene som ikke gir [tex]a \in \[ -1\ ,\ 1 \][/tex].
I ditt tilfelle, med [tex]p = 0.87[/tex], får vi løsningene (gjør dette numerisk, hvis du vil kose deg med å løse tredjegradslikningen analytisk så gjerne for meg)
[tex]a \approx 1.3916[/tex], [tex]a \approx 0.5483[/tex], [tex]a \approx -1.9398[/tex].
Den første og den siste løsningen kan elimineres, siden de ikke tilfredsstiller det siste kravet vårt. Da sitter vi igjen med [tex]a \approx 0.5483[/tex].
Altså har vannstanden, som opprinnelig var 2 (husk at vi hadde radius 1), gått ned til 0.5483 - (-1) = 1.5483. (Husk at bunnen av tanken er i x = -1, ikke i x = 0). Altså har vi fått en reduksjon på [tex]\frac{2-1.5483}{2} \approx 22.6 \percent[/tex].