matematikk.net

Hei igjen!

Samme idiot. Nytt problem.

[tex]\int{\sqrt{1-cos t}}\;dt[/tex]

Vil bare vite hvilken integrasjonsteknikk man skal bruke,
så kan jeg prøve meg på den igjen. Forhåpentligvis vil jeg
da bli litt klokere på disse stygge, fæle integralene.

[tex]\int \sqrt{1-\cos(x)}\rm{d}x = \int \sqrt{\frac{1-\cos^2(x)}{1 + \cos(x)}} \rm{d}x = \int \frac{\sin(x)}{\sqrt{1+\cos(x)}}\rm{d}x[/tex]

Du tar det derfra?

Har nesten klart den. Dette blir en soleklar substitusjon.

[tex]\int{\frac{sin(t)}{sqrt{1+cos(t)}}}\;dt[/tex]

Setter u = cos(t)
du/dt = -sin(t)
dt = - 1/sin(t)du

Bruker substitusjonen:
[tex]\int{\frac{sin(t)}{\sqrt{1+u}}\cdot-\frac{1}{sin(t)}}\;du[/tex]
[tex]\int-\frac{1}{\sqrt{1+u}}\;du[/tex]

Men denne delen sliter jeg med.
Jeg vet at det ubestemte integralet skal bli:
[tex]-2\sqrt{1+u} + C[/tex]

Klarer fint og derivere meg fra denne til
[tex]\frac{-1}{\sqrt{1+x}}[/tex]

Men klarer ikke å ta den antideriverte tilbake.
Hvis noen kan forklare den delen til meg, så er oppgaven i boks.
(Skylder på sommermodus for å skåne stoltheten min).

sett u = 1 + cos(t)

[tex]I=-\int\frac{{\rm du}}{\sqrt u}=-2u^{1\over 2}\,+\,C[/tex]
osv

Aaaaaah. Selvsagt!

Noen ganger begynner jeg å lure på om jeg har dyskalkuli...
...det vil si de gangene jeg ikke tror jeg er den nesten Newton.

TAKK!

En annen måte å bestemme integralet på, vet:

[tex]\cos(x)=2\cos^2({x\over 2})-1[/tex]

slik at:

[tex]I=\int \sqrt{1-\cos(x)}{\rm dx}=\int \sqrt{2\sin^2({x\over 2})} {\rm dx}=-2\sqrt2 \cos({x\over 2})\,+\,C[/tex]



Trur den skal stemme også. Bare å sjekke om:
[tex]-2\sqrt2 \cos({x\over 2})=-2\sqrt{1+\cos(x)}[/tex]

Markonan wrote:Aaaaaah. Selvsagt!
Noen ganger begynner jeg å lure på om jeg har dyskalkuli...
...det vil si de gangene jeg ikke tror jeg er den nesten Newton. TAKK!

Hehe, bra med sjølironi...