differensialligning

[monster]

Hei,

Kunne noen forklare og løse denne oppgaven? del b og c

her ligger bildet av teksten:
http://www.talesh.info/up/images/ozZ80362.bmp

[Landis]

Hei,

Kunne noen forklare og løse denne oppgaven? del b og c

her ligger bildet av teksten:
http://www.talesh.info/up/images/ozZ80362.bmp

Dette er en separabel likning:

du får

dS / (1000 - S) = k dt

Integrer på begge sider nå, og du får løsningen. Prøv sjøl!

Men eg får +k i løsningen, ikke -k som det er oppgitt i oppgava. Noen som kan forklare hvorfor?

[monster]

jeg aner ikke hvordan jeg skal angripe en diff.likning!?!

[Landis]

b)

dS / dt = k * (1000 - S)

dS = k * (1000 - S) *dt

dS / (1000 - S) = k * dt

1 / (1000 - S) * dS = k * dt

Dersom du nå integrerer på begge sider av likhetstegnet får du

ln(1000 - S) = kt + C

1000 - S = e^(kt + C)

1000 - S = e^kt * e^C vi setter e^C = K

1000 - S = K*e^kt

S = 1000 - K*e^kt

Vi har oppgitt at S(0) = 100. Dette gir

S(0) = 1000 - K*e^k*0 = 100

1000 - K = 100

K = 900

Vi får da

S = 1000 - 900*e^kt


c)

S(4) = 400

S(4) = 1000 - 900*e^k*4 = 400

1000 - 400 = 900*e^k*4

600 = 900*e^k*4

e^k*4 = 600 / 900

e^k*4 = 2 / 3

k*4 = ln(2/3)

k = ln(2/3) / 4 = -0,1014


Halvparten er smitta S(t) = 500

S = 1000 - 900*e^-0,1014t = 500

1000 - 500 = 900e^-0,1014t

500 = 900e^-0,1014t

e^-0,1014t = 5/9

-0,1014t = ln(5/9)

t = ln(5/9) / -0,1014

t = 5,8 mnd