matematikk.net

Hei. Jeg varmer opp til mer matematikk med å løse noen gamle eksamensoppgaver. Nå har jeg kommet over en oppgave om maksimering som jeg ikke får til. Jeg kan lage en likning med to ukjente, men hvordan kobler jeg disse ukjente sammen så jeg får én likning?

Oppgaven lyder som følger:

Et bilde med ramme skal totalt dekke 0,6m[sup]2[/sup]. Bildet med rammen skal være rektangulært. Bredden på rammen er 6cm på høyre og venstre side. Bredden på rammen er 10cm i overkant og underkant. Arealet av bildet innenfor rammen skal gjøres størst mulig.

Bestem det største arealet av bildet innenfor rammen?

Jeg vil tro et hot tips her er Lagrange multiplikatoren. Sender en link som viser ett eksempel:

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... t=lagrange

Dette er egentlig ikke en likning med to ukjente. Siden du vet hvor stort areal bildet skal dekke kan du si Y dersom du har bestemt X.

[tex]y = \frac{0.6}{x}[/tex]

[tex]F(x) = x \cdot y \\ F(x) = 0.6[/tex]

Oppgaven løses ved å uttrykke bildets sider innenfor rammen, og sette den deriverte til null for å finne ut et toppunkt. (Merk at jeg har gjort om M til CM)

[tex]F(x) = (x - 12)(\frac{6000}{x} - 20) \\ F(x) = 6240 - 20x - \frac{72000}{x} \\ F^,(x) = \frac{72000}{x^2} - 20 \\ F^,(0) = \frac{72000}{x^2} - 20 = 60[/tex]

Det vil si at hele bildet er 60cm bredt og 1m høyt. (Tar forbehold om feil, ettersom jeg ikke har fasiten her)

Det ser man jo med en gang blir feil, bilde + ramme = 0,6 m^2. Er bildet 1 x 0,6 meter fyller jo det hele målet, men rammen tar jo plass den og.

Eh, jeg regnet ut hele bredden og høyden.

La [tex]x[/tex] og [tex]y[/tex] være hhv. bredden og høyden i cm av bildet uten ramme. Da er arealet av bildet med ramme

[tex](x + 12)(y + 20) = 6000,[/tex]

som gir

[tex](1) \;\; y = \frac{6000}{x + 12} \:-\: 20.[/tex]

Arealet av bildet uten ramme blir dermed

[tex]xy \:=\: x (\frac{6000}{x + 12} \:-\: 20) \:=\: \frac{6000x}{x + 12} \:-\: 20x \:=\: A(x).[/tex]

Derivasjon gir

[tex]A^{\prime}(x) \:=\: \frac{72000}{(x + 12)^2} \:-\: 20.[/tex]

Eneste positive løsning av likningen [tex]A^{\prime}(x) = 0[/tex] er [tex]x = 48.[/tex] Ettersom [tex]A^{\prime}(x)<0[/tex] når [tex]x>48[/tex], må [tex]A(x)[/tex] ha en maksimalverdi for [tex]x = 48[/tex]. Så maksimalt areal har vi når [tex]x = 48[/tex] og [tex]y = 80[/tex] (fås ved å sette [tex]x=48[/tex] i (1)).

@Janhaa: Denne oppgaven kan sikkert løses på den måten også, men dette er ikke flervariabel Calculus, men jeg skal huske på Lagrange multiplikatoren når jeg kommer til optimalisering med flere variable uti oktober eller no.

Jeg så nå at denne oppgaven ikke var så vanskelig likevel. Jeg hang meg sånn opp i geometrien at jeg glemte å snu på likningene. Solar Plexsus løser oppgaven på en veldig god måte.

Takk for alle innspill.