Trigonometriligning

[Olorin]

Fikk denne "nøtten" som hjemmelekse i Matematikk 1:

[tex]\arcsin(x)=\frac{\pi}{4}-\arcsin(\frac45)[/tex]

Finn x

-

Løste den selv til å bli [tex]x=-\frac{\sqr2}{10}[/tex]

Bra trening i trigonometri, legger den ut slik at andre kan prøve seg og evt vise en annen fremgangsmåte

[Janhaa]

Fikk samma svar som deg. Tar sinus på begge sider, og bruker sinus til differanse av to vinkler, dvs:

[tex]x=\sin({\pi \over 4})\cdot \cos(\arcsin({4\over 5}))\,-\,\cos({\pi \over 4})\cdot \sin(\arcsin({4\over 5}))=-{\sqrt2 \over 10}[/tex]

[Olorin]

Flott, har ingen kalkulator til å kontrollere svaret med, så regner med det stemmer.

[Charlatan]

[tex]\arcsin(x)=\frac{\pi}{4}-\arcsin(\frac45)[/tex]


Siden [tex]sin(\arcsin(x)) \equiv x[/tex] : (Hvordan skrive dette tegnet i tex, "strengt lik"?)
EDIT: Fikset

Er [tex]x=sin(\frac{\pi}{4}-\arcsin(\frac45)) = sin(\frac{\pi}{4})cos(\arcsin(\frac45))-sin(\arcsin(\frac45))cos(\frac{\pi}{4})[/tex]

Vi vet at [tex]cos^2x + sin^2x = 1 \Rightarrow cos^2x = 1-sin^2x \Rightarrow cos^x = \pm \sqrt{1-sin^2x}[/tex]
Da er [tex]cos(\arcsin(\frac45)) = \pm \sqrt{1-\frac{16}{25}} = \pm \frac{3}{5}[/tex]


Altså:

[tex]x=\pm \frac{3\sqrt{2}}{10} - \frac{4\sqrt{2}}{10} \\ x=-\frac{\sqrt{2}}{10} \ \vee \ x= -\frac{7\sqrt{2}}{10}[/tex]
Hvordan få V i tex, ("eller")?
EDIT: Fikset

Jeg vet ikke hva vi må ta hensyn til i slike likninger, men det er klart at svaret bare gjelder for to av de fire mulighetene for arcsin(x). En x-verdi til funksjonen [tex]f(x) = \arcsin(x)[/tex] vil ha to forskjellige verdier for alle x som ikke er 1 eller -1

[daofeishi]

strengt lik: \equiv
eller: \vee

Edit:
og: \wedge

[Charlatan]

Takk, hva med "og" da, motsatt V.
EDIT: [tex]\wedge[/tex] Fint

[Olorin]

Løste den slik:

[tex]\arcsin(x)=\frac{\pi}{4}-\arcsin(\frac45)[/tex]

[tex]v=\arcsin(\frac45)\ , \ \, u=\frac{\pi}{4}[/tex]

[tex]\sin(\arcsin(x))=\sin(u-v)[/tex]

[tex] x=\sin(u-v)[/tex]

[tex]x=\sin(u)\cos(v)-\cos(u)\sin(v)[/tex]

[tex]\sin(v)=\frac45[/tex]
[tex]\sin(u)=\frac{\sqr2}2[/tex]
[tex]\cos(u)=\frac{\sqr2}{2}[/tex]
[tex]\cos(v)=\cos(\arcsin(\frac45)) \ \Rightarrow \ \arcsin(\frac45)=\arccos(\frac{\sqr{5^2-4^2}}{5})=\arccos(\frac35)[/tex]
[tex]\cos(v)=\cos(\arccos(\frac35))=\frac35[/tex]

[tex]x= \frac{\sqr2}2\cdot \frac35-\frac{\sqr2}2\cdot \frac45=\frac{3\sqr2 -4\sqr2}{10}=-\frac{\sqr2}{10}[/tex]

Er den andre løsningen din korrekt Jarle?

[Charlatan]

Ja, det avhenger av svarene til [tex]\arcsin(\frac{4}{5})[/tex]
Jeg ble nysgjerrig på måten du fant [tex]\arccos(\frac35)[/tex]
[tex]\sqrt{\frac{5^2+4^2}{5}}[/tex] ?

[Janhaa]

Ja, det avhenger av svarene til [tex]\arcsin(\frac{4}{5})[/tex]
Jeg ble nysgjerrig på måten du fant [tex]\arccos(\frac35)[/tex]
[tex]\sqrt{\frac{5^2+4^2}{5}}[/tex] ?

NEI, prøve viser at [tex]\;x=-\frac{7\sqrt{2}}{10}\;[/tex]ikke er riktig (ulike fortegn på venstre og høyre side !).

[Olorin]

Jepp, ser det, men er vel x=- [symbol:rot]2 / 10 man er ute etter i utgangspunktet.

Men kan jo imponere litt med å føye til den andre løsningen også

[Olorin]

Ja, det avhenger av svarene til [tex]\arcsin(\frac{4}{5})[/tex]
Jeg ble nysgjerrig på måten du fant [tex]\arccos(\frac35)[/tex]
[tex]\sqrt{\frac{5^2+4^2}{5}}[/tex] ?

lite triks:

sin v = motstående / hypotenus = b/c

cos v = hosliggende / hypotenus = a/c

[tex]c^2=a^2+b^2[/tex]

a = [tex]\sqr{c^2-b^2}[/tex]

[tex]\arcsin(\frac45)=\arccos(\frac{\sqr{5^2-4^2}}{5})[/tex]

[Charlatan]

Janhaa, hvorfor ikke?

[tex]\sin(-\frac{7\sqrt{2}}{10}) \approx -1.428899272[/tex] på kalkulatoren min

[tex]\arcsin{\frac45} \approx 0.927295218 \wedge 2.214297463[/tex]

Likningen sa: [symbol:pi]/4 - [tex]arcsin(\frac45} \approx -0.1418970546 [/tex]som er løsningen [tex]\frac{-\sqrt{2}}{10}[/tex] Men den har også løsningen -1.428899272 hvis man bruker den andre verdien for [tex]arcsin(\frac45)[/tex] som gir verdien til [tex]\sin(-\frac{7\sqrt{2}}{10})[/tex]

Er grunnen til at det ikke er korrekt fordi at verdien til [tex]\sin(-\frac{7\sqrt{2}}{10})[/tex] som brukes ikke er mellom 0 og 2 [symbol:pi] ? Da forstår jeg det. Jeg ser iallefall ingen annen grunn. Eller kan du forklare det Janhaa? Jeg ser ingen grunn til at arcsin(x) skal restrikteres innenfor intervallet 0 og 2[symbol:pi]

[Janhaa]

Janhaa, hvorfor ikke?
[tex]\sin(-\frac{7\sqrt{2}}{10}) \approx -1.428899272[/tex] på kalkulatoren min
[tex]\arcsin{\frac45} \approx 0.927295218 \wedge 2.214297463[/tex]

Altså:
[tex]\arcsin(-\frac{7\sqrt2}{10})\, \neq \, {\pi\over 4}\,-\,\arcsin({4\over 5})[/tex]

[Charlatan]

[tex]\arcsin(-\frac{7\sqrt2}{10})\, \neq \, {\pi\over 4}\,-\,\arcsin({4\over 5})[/tex]

Ved hvilke forutsetninger!?

Da må i så fall min kalkulator vise feil svar.

Hør på hva jeg sier da:

Kalkulatorsvaret gir bare ett svar. For å finne svaret til arcsin(4/5) på kalkulatoren så finner du først det kalkulatoren sier for arcsin(4/5) og så ( [symbol:pi] - arcsin(4/5)) er du ikke enig i det?

så arcsin((-7[symbol:rot]2)/10) = [symbol:pi]/4 - ([symbol:pi] - arcsin(4/5))

(Hvis arcsin kun er det svaret kalkulatoren gir)