Hei,
Jeg prøver å intuitivt forstå formelen og utregningen av standardavviket, og har laget et enkelt eksempel i jakten på forståelsen:
Hvis det er to personer som er henholdsvis 1,80 m og 1,20 m, så er gjennomsnittshøyden for dem 1,50 m. Den høyeste, er 0,3 m høyere enn gjennomsnittet, og den andre stakkaren er 0,3 m lavere.
Standardavviket blir ofte kalt "det typiske avviket fra gjennomsnittet", men hvorfor er det da ikke 0,3 m her, da, men faktisk 0,42 m?
Standardavvik
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Det er en gjennomsnittverdi med to elementer tatt ut fra et større sett, altså alle andre mennesker (eller hva som kan spesifiseres)
Det empiriske standardavviket er konstruert slik at den skal ta stilling til de resterende elementene som ikke ble tatt i med i gjennomsnittet (som jeg bare må anta etter 3mx's formulering). Man kan tenke seg til at det slik. Hvis disse to representerer settet på en god måte (2 stykker er sjelden nok til å representere et sett som består av et så stort sett), det vil mest sannsynlig være andre mennesker både over og under disse høydene (som er ganske urealistiske
) og standardavviket er definert som en verdi som kan oppfattes som et intervall som viser hvor det er mest sannsynlig at en tilfeldig valgt person vil være innenfor.
Hvis du visste alle menneskenes høyde, og regner ut forventningsverdien (som kan tolkes som gjennomsnittet av alle mennesker) kan du finne et nytt standardavvik, som har en mindre verdi, altså et mindre intervall, og vil som etter definisjonen tilsier vise hvor et menneske mest sannsynlig vil ha en høyde innenfor hvis man plukker ut ett.
Det empiriske standardavviket som brukes når man ikke vet alle elementene i et sett kan du se at blir større enn det virkelige standardavviket ved å se på formlene for dem:
[tex]S_{\bar{X}} = \sum_{i=1}^n \sqrt{\frac{1}{n-1}(X_i-\bar{X})^2}[/tex]
Hvor n er lik antall elementer i gjennomsnittsberegningen.
Standardavviket for gjennomsnittsverdier er bevist: [tex]\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}[/tex]
Til forskjell fra:
[tex]\sigma_X = \sqrt{\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2P(X=x)}[/tex]
Hvor [tex]\frac{1}{n}[/tex] og [tex]P(X=x)[/tex] kan sammenlignes fordi [tex]n\cdot \frac{1}{n}=1 [/tex]og [tex]n \cdot P(x=x) = 1[/tex] hvis [tex]P(X=x)[/tex] er lik for alle verdier av x. Hvis ikke så er: [tex]\sum_{i=1}^nP(X_i=x) = 1[/tex]
Det må sies at standardavviket bare er en verdi som er konstruert for det formål å estimere et intervall hvor X ligger i.
Dette er iallefall slik jeg tolker det.
Det empiriske standardavviket er konstruert slik at den skal ta stilling til de resterende elementene som ikke ble tatt i med i gjennomsnittet (som jeg bare må anta etter 3mx's formulering). Man kan tenke seg til at det slik. Hvis disse to representerer settet på en god måte (2 stykker er sjelden nok til å representere et sett som består av et så stort sett), det vil mest sannsynlig være andre mennesker både over og under disse høydene (som er ganske urealistiske
) og standardavviket er definert som en verdi som kan oppfattes som et intervall som viser hvor det er mest sannsynlig at en tilfeldig valgt person vil være innenfor. Hvis du visste alle menneskenes høyde, og regner ut forventningsverdien (som kan tolkes som gjennomsnittet av alle mennesker) kan du finne et nytt standardavvik, som har en mindre verdi, altså et mindre intervall, og vil som etter definisjonen tilsier vise hvor et menneske mest sannsynlig vil ha en høyde innenfor hvis man plukker ut ett.
Det empiriske standardavviket som brukes når man ikke vet alle elementene i et sett kan du se at blir større enn det virkelige standardavviket ved å se på formlene for dem:
[tex]S_{\bar{X}} = \sum_{i=1}^n \sqrt{\frac{1}{n-1}(X_i-\bar{X})^2}[/tex]
Hvor n er lik antall elementer i gjennomsnittsberegningen.
Standardavviket for gjennomsnittsverdier er bevist: [tex]\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}[/tex]
Til forskjell fra:
[tex]\sigma_X = \sqrt{\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2P(X=x)}[/tex]
Hvor [tex]\frac{1}{n}[/tex] og [tex]P(X=x)[/tex] kan sammenlignes fordi [tex]n\cdot \frac{1}{n}=1 [/tex]og [tex]n \cdot P(x=x) = 1[/tex] hvis [tex]P(X=x)[/tex] er lik for alle verdier av x. Hvis ikke så er: [tex]\sum_{i=1}^nP(X_i=x) = 1[/tex]
Det må sies at standardavviket bare er en verdi som er konstruert for det formål å estimere et intervall hvor X ligger i.
Dette er iallefall slik jeg tolker det.