Integral

[zell]

Har satt meg helt fast på denne:

[tex]\int \frac{4\rm{d}t}{t(1+\ln^2{(t)})}[/tex]

Har prøvd med utallige substitusjoner (da denne skal løses vha. substitusjon).

Svaret skal bli:

[tex]4\arctan{(\ln{t})} + C[/tex]

[arildno]

Legg merke til at 1/t er den deriverte av ln(t).
Derfor er substitusjonen u=ln(t) et naturlig valg.
Dessuten må du kjenne til at:
[tex]\int\frac{dx}{1+x^{2}}=arctan(x)+C[/tex]

[zell]

[tex]x^2 \not= \ln^2{t}[/tex] når [tex]x = \ln{t}[/tex]

[tex]x^2[/tex] her vil vel bli: [tex](\ln{t})^2[/tex]

Eller tar jeg feil?

EDIT: Tydeligvis tok jeg feil Tusen takk for hjelpen!

[arildno]

Godt spørsmål!

Vi bruker samme notasjon for logaritme-potenser som for potenser av de trigonometriske funksjonene.

Dvs, pr definisjon innfører vi symbolene:
[tex]\cos^{2}(x)\equiv(\cos(x))^{2},\ln^{2}(x)\equiv(\ln(x))^{2}[/tex]

Den eneste grunnen til dette er at vi dermed unngår en "ytre parentes" i symbolskrivingen vår.

Det er relativt standard skrivemåte for funksjoner som oppnås som potenser av andre funksjoner; men skrivemåten er uheldig, fordi inversfunksjoner ofte skrives som [tex]f^{-1}(x)[/tex], som jo er noe helt annet enn [tex](f(x))^{-1}=\frac{1}{f(x)}[/tex]..