matematikk.net

[tex]\lim_{x\to0} \frac{sin^22x}{tan^23x}[/tex]


Noen som kan komme men noen løsningshint? LHopitals?

Ja, jeg ville brukt l'Hôpital. Du må nok bruke den flere ganger her?!

rm wrote:[tex]\lim_{x\to0} \frac{sin^22x}{tan^23x}[/tex]
Noen som kan komme men noen løsningshint? LHospitals?

Ja, bruk L'Hopitals ett par ganger. Jeg gidder ikke skrive inn dette, men fikk etter ett par deriveringer (på kladd) lik null (vet ikke om det er riktig).

[tex]\lim_{x\to 0} \frac{\sin^2(2x)}{\tan^2(3x)}=0[/tex]

Svaret bør vel bli 4/9? Det går også an å sette inn noen rekkeutviklinger om dette ikke er over hodet på spørsmålstiller?

Jeg får også 4/9 når jeg bruker l'Hôpital (2 ganger).

[tex]\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin^2{(2x)}}{\tan^2{(3x)}}[/tex]

L'Hôpital:

[tex]\lim_{x\rightarrow 0} \frac{2\sin{(2x)} \ \cdot \ \cos{(2x)} \ \cdot \ 2}{2\tan{(3x)} \ \cdot \ \frac{3}{\cos^2{(3x)}}} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{4\sin{(2x)}\cos{(2x)}}{\frac{6\sin{(3x)}}{\cos^3{(3x)}}[/tex]

[tex]= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{2\sin{(2x)}\cos{(2x)}\cos^3{(3x)}}{3\sin{(3x)}}[/tex]

L'Hôpital:

[tex]\lim_{x\rightarrow 0} \frac{2(2\cos^2{(2x)}\cos^3{(3x)} + \sin{(2x)}\cos{(2x)}(-9\cos^2{(3x)}\sin{(3x)})}{9\cos{(3x)}[/tex]

[tex]\lim_{x\rightarrow 0} \frac{4\cos^2{(2x)}\cos^3{(3x)} - 9\sin{(2x)}\cos{(2x)}\cos^2{(3x)}\sin{(3x)}}{9\cos{(3x)}}[/tex]

Ser da at vi får:

[tex]\lim_{x\rightarrow 0} \frac{4\cos^2{(2x)}\cos^3{(3x)} - 0}{9\cos{(3x)}} = \frac{4}{9}[/tex]

Kjenner man noen identiteter kan man gjøre sånn:

[tex]\frac{\sin(2x)}{\tan(3x)} = \cos (3x)\frac{2\sin x\cos x}{3\sin x-4\sin^2 x} = \cos(3x)\frac{2\cos x}{3-4\sin^2 x}[/tex] og grenseverdien følger lett.

Hvorfor eksisterer ikke denne grensen:

[tex]\lim_{x\to 0} \frac{tanx}{|x|}[/tex]

kan vi ikke bruke hopitals regel, slik at svaret blir 1?

Fordi en grenseverdi eksisterer kun om de ensidige grenseverdiene er like. Her blir det forskjell om du går mot 0 fra negativ eller positiv side. Prøv å tegne grafen, så blir det åpenbart.