Grenseverdi og maks-/minverdier av funksjon

[CrizzBee]

La [tex]f(x)=x^x[/tex], x>0

a) Vis at grensen [tex]\lim_{x\to0^+}f(x)[/tex] eksisterer, og finn denne grensen.

Her har jeg funnet ut at grensen eksisterer og den er 1, hvis jeg ikke har misforstått helt.


b) Definer [tex]f(0)=\lim_{x\to0^+}f(x)[/tex], slik at f blir definert på intervallet [0,1].
Kommenter påstanden: f har både maksimums- og minimumsverdi på dette intervallet

c) Finn maksimums- og minimumsverdiene, og hvor de antas.


Det er i hovedsak b) og c) jeg trenger hjelp til, hvis a) ikke ser helt feil ut.

[arildno]

b) [0,1] er et lukket område, og f er kontinuerlig; hva sier det deg?

c) Derivasjon er vel greit for å finne lokale ekstrempunkter?

[CrizzBee]

b) [0,1] er et lukket område, og f er kontinuerlig; hva sier det deg?

c) Derivasjon er vel greit for å finne lokale ekstrempunkter?

b) Det sier meg at det finnes både maksimumsverdi og minimumsverdi. Så den er grei

c) Når jeg deriverer f(x) får jeg [tex]e^{(xlnx)} (lnx+1)[/tex]. f'(x)=0 i kun ett punkt, dette punktet er et maksimumspunkt. Dette stemmer jo ikke helt i følge c), hvor vi sier at den skal ha både et makspkt og et minpunkt.

[arildno]

b) [0,1] er et lukket område, og f er kontinuerlig; hva sier det deg?

c) Derivasjon er vel greit for å finne lokale ekstrempunkter?

b) Det sier meg at det finnes både maksimumsverdi og minimumsverdi. Så den er grei

c) Når jeg deriverer f(x) får jeg [tex]e^{(xlnx)} (lnx+1)[/tex]. f'(x)=0 i kun ett punkt, dette punktet er et maksimumspunkt. Dette stemmer jo ikke helt i følge c), hvor vi sier at den skal ha både et makspkt og et minpunkt.

i) Hvorfor er det punktet du finner fra ligningen et maksimum?
ii) Er det bare på punkter hvor f'(x)=0 at en funksjon kan ha ekstremverdier?
(Legg merke til at jeg tok bort adjektivet "lokal" her..)

[CrizzBee]

b) [0,1] er et lukket område, og f er kontinuerlig; hva sier det deg?

c) Derivasjon er vel greit for å finne lokale ekstrempunkter?

b) Det sier meg at det finnes både maksimumsverdi og minimumsverdi. Så den er grei

c) Når jeg deriverer f(x) får jeg [tex]e^{(xlnx)} (lnx+1)[/tex]. f'(x)=0 i kun ett punkt, dette punktet er et maksimumspunkt. Dette stemmer jo ikke helt i følge c), hvor vi sier at den skal ha både et makspkt og et minpunkt.

i) Hvorfor er det punktet du finner fra ligningen et maksimum?
ii) Er det bare på punkter hvor f'(x)=0 at en funksjon kan ha ekstremverdier?
(Legg merke til at jeg tok bort adjektivet "lokal" her..)

Vet ikke om jeg tenker helt feil med det med ekstremalpunkt. Jeg trodde man fant ekstremalpunkt når man satt den deriverte lik 0, og brukte fortegnsdrøfting for å finne ut om dette var maksimum eller minimum. Altså, dette er et maksmun fordi når jeg brukte x= et mindre tall enn det nullpunktet jeg fikk og satt det inn i likningen for den deriverte, da ble det et negativt tall, derfor stiger funksjonen før den når et toppunkt(punktet jeg fant) og går over til å synke.

Hva menes med lokal foresten?

[arildno]

b) Det sier meg at det finnes både maksimumsverdi og minimumsverdi. Så den er grei

c) Når jeg deriverer f(x) får jeg [tex]e^{(xlnx)} (lnx+1)[/tex]. f'(x)=0 i kun ett punkt, dette punktet er et maksimumspunkt. Dette stemmer jo ikke helt i følge c), hvor vi sier at den skal ha både et makspkt og et minpunkt.

i) Hvorfor er det punktet du finner fra ligningen et maksimum?
ii) Er det bare på punkter hvor f'(x)=0 at en funksjon kan ha ekstremverdier?
(Legg merke til at jeg tok bort adjektivet "lokal" her..)

Vet ikke om jeg tenker helt feil med det med ekstremalpunkt. Jeg trodde man fant ekstremalpunkt når man satt den deriverte lik 0, og brukte fortegnsdrøfting for å finne ut om dette var maksimum eller minimum. Altså, dette er et maksmun fordi når jeg brukte x= et mindre tall enn det nullpunktet jeg fikk og satt det inn i likningen for den deriverte, da ble det et negativt tall, derfor stiger funksjonen før den når et toppunkt(punktet jeg fant) og går over til å synke.

Hva menes med lokal foresten?

Nullpunket for den deriverte er x=1/e.
Setter du inn en verdi mindre enn en 1/e, blir den deriverte negativ. Det betyr at funksjonen SYNKER frem til ekstrempunktet, deretter stiger den.
x=1/e er et lokalt minimum.

En funksjon kan også ha globale ekstremeverdier i:
i) Punkter hvor funksjonen ikke er deriverbar (eksempelvis i spisse punkter eller diskontinuiteter.

ii) I endepunkter av definisjonsområdet sitt, hvis disse fins.

Fins punkter av disse typene?

"Lokalt" minimum er minimum for alle punkter i umiddelbar nærhet av punktet. Her er den deriverte null, hvis funksjonen er deriverbar her.

"Globalt" minimum er den minste verdien funksjonen har overhodet.

Tilsvarende for maksima.