Skal finne
[tex]\lim _{x \to 0^o}\frac{sinx}{x}[/tex] når x er målt i grader
Grenseverdien skal bli [tex]\frac{\pi}{180}[/tex].
Grenseverdi
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Det har jeg gjort, men er ikke helt fornøyd med det jeg kommer frem til. Altså jeg får
[tex]x=\frac{180^o v}{\pi}[/tex]
[tex]\lim _{x\to 0^o}\frac{sinx}{x}={\lim _{({\frac{180^o v}{\pi})}\to 0}}\frac{sin(\frac{180^o v}{\pi})}{\frac{180^o v}{\pi}}=\frac{1}{\frac{180^o}{\pi}}\cdot \lim _{v\to 0}\frac{sin(\frac{180^o v}{\pi})}{v}=\frac{\pi}{180^o}\cdot \lim _{v\to 0}\frac{sin(\frac{180^o v}{\pi})}{v}[/tex]
Hvis jeg ganger ut osv nå, så får jeg at grenseverdien blir lik en.. Uff
[tex]x=\frac{180^o v}{\pi}[/tex]
[tex]\lim _{x\to 0^o}\frac{sinx}{x}={\lim _{({\frac{180^o v}{\pi})}\to 0}}\frac{sin(\frac{180^o v}{\pi})}{\frac{180^o v}{\pi}}=\frac{1}{\frac{180^o}{\pi}}\cdot \lim _{v\to 0}\frac{sin(\frac{180^o v}{\pi})}{v}=\frac{\pi}{180^o}\cdot \lim _{v\to 0}\frac{sin(\frac{180^o v}{\pi})}{v}[/tex]
Hvis jeg ganger ut osv nå, så får jeg at grenseverdien blir lik en.. Uff
Men du vet at sinv målt i radianer er lik [tex]sin(v^\circ)[/tex] målt i grader.
Merk: [tex]v^\circ[/tex] er grader, og [tex]v[/tex] er radianer.
Vi måler i grader:
[tex]\lim_{v^\circ \to 0}\frac{\sin(v^\circ)}{v^\circ}=\lim_{v \to 0}\frac{\pi}{180}\frac{\sin(v^\circ)}{v}[/tex]
Når [tex]v^\circ \to 0 \Rightarrow \frac{v^\circ \cdot \pi}{180} \to 0[/tex]
Siden [tex]\sin(v^\circ)[/tex] målt i grader, hvor [tex]v^\circ[/tex] er grader, er lik [tex]\sin{v}[/tex] målt i radianer hvor [tex]v[/tex] er radianer er
[tex]\lim_{v^\circ \to 0}\frac{\sin(v^\circ)}{v^\circ} = \lim_{v}\frac{\pi}{180}\frac{\sin(v)}{v}[/tex]
Hvor førstnevnte er målt i grader og sistnevnte er målt i radianer.
Merk: [tex]v^\circ[/tex] er grader, og [tex]v[/tex] er radianer.
Vi måler i grader:
[tex]\lim_{v^\circ \to 0}\frac{\sin(v^\circ)}{v^\circ}=\lim_{v \to 0}\frac{\pi}{180}\frac{\sin(v^\circ)}{v}[/tex]
Når [tex]v^\circ \to 0 \Rightarrow \frac{v^\circ \cdot \pi}{180} \to 0[/tex]
Siden [tex]\sin(v^\circ)[/tex] målt i grader, hvor [tex]v^\circ[/tex] er grader, er lik [tex]\sin{v}[/tex] målt i radianer hvor [tex]v[/tex] er radianer er
[tex]\lim_{v^\circ \to 0}\frac{\sin(v^\circ)}{v^\circ} = \lim_{v}\frac{\pi}{180}\frac{\sin(v)}{v}[/tex]
Hvor førstnevnte er målt i grader og sistnevnte er målt i radianer.
Joda, du ser at [tex]\frac{v\cdot180}{\pi} = v^\circ[/tex]
Altså, [tex]\sin(\frac{v \cdot 180}{\pi}) = \sin{(v^\circ)}[/tex] Hvor [tex]v[/tex] er radianer og [tex]v^\circ[/tex] er grader.
Men du vet også at [tex]\sin(v^\circ)[/tex] målt i grader er lik [tex]\sin(v)[/tex] målt i radianer, så det er bare å hoppe direkte til det. Så ender du opp med den kjente grenseverdien.
Altså, [tex]\sin(\frac{v \cdot 180}{\pi}) = \sin{(v^\circ)}[/tex] Hvor [tex]v[/tex] er radianer og [tex]v^\circ[/tex] er grader.
Men du vet også at [tex]\sin(v^\circ)[/tex] målt i grader er lik [tex]\sin(v)[/tex] målt i radianer, så det er bare å hoppe direkte til det. Så ender du opp med den kjente grenseverdien.