Grenseverdi

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Post Reply
Frank KJ
Cayley
Cayley
Posts: 95
Joined: 20/11-2006 01:22
Location: Bærum

Skal finne

[tex]\lim _{x \to 0^o}\frac{sinx}{x}[/tex] når x er målt i grader

Grenseverdien skal bli [tex]\frac{\pi}{180}[/tex].
Charlatan
Guru
Guru
Posts: 2499
Joined: 25/02-2007 17:19

Tips: Finn sammenhengen mellom grader og radianer
Frank KJ
Cayley
Cayley
Posts: 95
Joined: 20/11-2006 01:22
Location: Bærum

Det har jeg gjort, men er ikke helt fornøyd med det jeg kommer frem til. Altså jeg får

[tex]x=\frac{180^o v}{\pi}[/tex]

[tex]\lim _{x\to 0^o}\frac{sinx}{x}={\lim _{({\frac{180^o v}{\pi})}\to 0}}\frac{sin(\frac{180^o v}{\pi})}{\frac{180^o v}{\pi}}=\frac{1}{\frac{180^o}{\pi}}\cdot \lim _{v\to 0}\frac{sin(\frac{180^o v}{\pi})}{v}=\frac{\pi}{180^o}\cdot \lim _{v\to 0}\frac{sin(\frac{180^o v}{\pi})}{v}[/tex]

Hvis jeg ganger ut osv nå, så får jeg at grenseverdien blir lik en.. Uff
Charlatan
Guru
Guru
Posts: 2499
Joined: 25/02-2007 17:19

Men du vet at sinv målt i radianer er lik [tex]sin(v^\circ)[/tex] målt i grader.

Merk: [tex]v^\circ[/tex] er grader, og [tex]v[/tex] er radianer.

Vi måler i grader:

[tex]\lim_{v^\circ \to 0}\frac{\sin(v^\circ)}{v^\circ}=\lim_{v \to 0}\frac{\pi}{180}\frac{\sin(v^\circ)}{v}[/tex]

Når [tex]v^\circ \to 0 \Rightarrow \frac{v^\circ \cdot \pi}{180} \to 0[/tex]

Siden [tex]\sin(v^\circ)[/tex] målt i grader, hvor [tex]v^\circ[/tex] er grader, er lik [tex]\sin{v}[/tex] målt i radianer hvor [tex]v[/tex] er radianer er

[tex]\lim_{v^\circ \to 0}\frac{\sin(v^\circ)}{v^\circ} = \lim_{v}\frac{\pi}{180}\frac{\sin(v)}{v}[/tex]

Hvor førstnevnte er målt i grader og sistnevnte er målt i radianer.
Frank KJ
Cayley
Cayley
Posts: 95
Joined: 20/11-2006 01:22
Location: Bærum

Takker, Jarle10! :) Men syns du ikke at det burde være mulig å komme frem til det samme hvis du tar utgangspunkt i det jeg gjorde?
Charlatan
Guru
Guru
Posts: 2499
Joined: 25/02-2007 17:19

Joda, du ser at [tex]\frac{v\cdot180}{\pi} = v^\circ[/tex]

Altså, [tex]\sin(\frac{v \cdot 180}{\pi}) = \sin{(v^\circ)}[/tex] Hvor [tex]v[/tex] er radianer og [tex]v^\circ[/tex] er grader.

Men du vet også at [tex]\sin(v^\circ)[/tex] målt i grader er lik [tex]\sin(v)[/tex] målt i radianer, så det er bare å hoppe direkte til det. Så ender du opp med den kjente grenseverdien.
Frank KJ
Cayley
Cayley
Posts: 95
Joined: 20/11-2006 01:22
Location: Bærum

Glemte helt at sinus, cosinus og tangens kan bli målt ut ifra både grader og radianer. Jeg ber meg unnskyldt.
Post Reply