Sannsynlighet

[Klaus Knegg]

Hvordan kan man på best mulig måte bevise at dersom vi har 10 hvite og 10 svarte kuler vi skal fordele på to bokser, er sjansen for å trekke en hvit kule størst hvis vi legger en hvit i boks A og resten av kulene i boks B? Vi regner med at sjansen for å trekke fra boks A er 0.5, og tilsvarende 0.5 for å trekke kuler fra boks B.
Hvis vi fordeler det slik, er sjansen for hvit kule i første trekning 0.5(1+(9/19)) = 0.74, men å skrive dette var tydeligvis ikke nok.
Finnes det noen glupe måter som viser at nettopp denne fordelingen er mest gunstig hvis vi bare skal trekke en gang?

[ettam]

Du kan se på alle mulighetene. (Men jeg er ikke sikker på om dette er et godt nok svar heller...)

X : antall hvite kuler i den boksen du velger å ha kun hvite kuler i.

[tex]P(X=x) = 0,5(1+\frac{10-x}{20-x})[/tex]

Gjør du dette vil du få:

[tex]P(X=1) = 0,74[/tex]
[tex]P(X=2) = 0,72[/tex]
[tex]P(X=3) = 0,71[/tex]
[tex]P(X=4) = 0,69[/tex]
[tex]P(X=5) = 0,67[/tex]
[tex]P(X=6) = 0,64[/tex]
[tex]P(X=7) = 0,62[/tex]
[tex]P(X=8) = 0,58[/tex]
[tex]P(X=9) = 0,55[/tex]
[tex]P(X=10) = 0,50[/tex]

[mrcreosote]

Det er godt nok svar å se på alle mulighetene, men om det for eksempel hadde vært 10^80 kuler ville nok mange sett på dette som slitsomt.

Hvis du klarer å vise at P(X=x) er en avtagende funksjon (av x), ser du imidlertid at det lønner seg å stappe inn størst mulig x-verdi.