matematikk.net

Hvordan kan man på best mulig måte bevise at dersom vi har 10 hvite og 10 svarte kuler vi skal fordele på to bokser, er sjansen for å trekke en hvit kule størst hvis vi legger en hvit i boks A og resten av kulene i boks B? Vi regner med at sjansen for å trekke fra boks A er 0.5, og tilsvarende 0.5 for å trekke kuler fra boks B.
Hvis vi fordeler det slik, er sjansen for hvit kule i første trekning 0.5(1+(9/19)) = 0.74, men å skrive dette var tydeligvis ikke nok.
Finnes det noen glupe måter som viser at nettopp denne fordelingen er mest gunstig hvis vi bare skal trekke en gang?

Du kan se på alle mulighetene. (Men jeg er ikke sikker på om dette er et godt nok svar heller...)

X : antall hvite kuler i den boksen du velger å ha kun hvite kuler i.

[tex]P(X=x) = 0,5(1+\frac{10-x}{20-x})[/tex]

Gjør du dette vil du få:

[tex]P(X=1) = 0,74[/tex]
[tex]P(X=2) = 0,72[/tex]
[tex]P(X=3) = 0,71[/tex]
[tex]P(X=4) = 0,69[/tex]
[tex]P(X=5) = 0,67[/tex]
[tex]P(X=6) = 0,64[/tex]
[tex]P(X=7) = 0,62[/tex]
[tex]P(X=8) = 0,58[/tex]
[tex]P(X=9) = 0,55[/tex]
[tex]P(X=10) = 0,50[/tex]

Det er godt nok svar å se på alle mulighetene, men om det for eksempel hadde vært 10^80 kuler ville nok mange sett på dette som slitsomt.

Hvis du klarer å vise at P(X=x) er en avtagende funksjon (av x), ser du imidlertid at det lønner seg å stappe inn størst mulig x-verdi.