matematikk.net

Er det noen som har et tips om hvordan jeg kan bevise at summen av 2 rasjonale tall er rasjonalt?

Vært borti induksjon? Det kan vel brukes, men vet ikke om det er vgs-pensum.

Vel, hvis du går ut ifra at:
- Produktet av to hele tall er et helt tall
- Summen av to hele tall er et helt tall
- Et rasjonalt tall kan skrives som en brøk bestående kun av hele tall.

Så er dette ganske enkelt.

Anta to rasjonale tall, [tex]x=\frac{a}{b}[/tex], og[tex] y=\frac{p}{q}[/tex], hvor [tex]a,b,p,q \in \mathbb{Z}[/tex] og følgelig [tex]x,u \in \mathbb{Q}[/tex]

Da vil summen av disse være: [tex]x+y=\frac{a}{b}+\frac{p}{q}[/tex]

Vi faktoriserer ved å finne fellesnevner (elementær algebra):

[tex]x+y=\frac{aq+bp}{qb}[/tex]

Ved antakelsene vi startet med har vi at aq+bp er lik et helt tall, og at qb er lik et helt tall. Et helt tall, delt på et helt tall er rasjonalt, thus, x+y er rasjonalt.

Har ikke vært borti det, nei, men med mindre det er veldig komplekst, kan jeg muligens lære det? Er nok ikke måten det er ment jeg skal løse oppgaven på, dog..

Et lite oppfølgningsspørsmål til deg Jarle10.

Kan irrasjonale tall skrive som en brøk bestående av flere ledd?

F.eks:

[tex]\frac{\sqrt{3} - 2}{2+\sqrt{3}} - \frac{1}{2}[/tex] ?

Eller må de kun skrives som [tex]e, \ \pi \ \sqrt{2}[/tex] osv.?

Hmm,

Vi må nesten anta at summen av et irrasjonalt tall og et rasjonalt tall er irrasjonalt, at produktet av et irrasjonelt tall og et rasjonalt tall er irrasjonalt, og at kvotienten av et irrasjonelt tall og et rasjonalt tall er irrasjonalt? eller er dette hva vi skal bevise?

Hmm, ditt eksempel kan forkortes til:

[tex]\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}+2}-\frac{1}{2}=\frac{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}-2)}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)} -\frac{1}{2}= \frac{7+2\sqrt{3}}{-1}-\frac{1}{2}= -\frac{15+4\sqrt{3}}{2} = -(\frac{15}{2}+2\sqrt{3})[/tex]

Og hvis vi går ut ifra antakelsene så kan det det? Men jeg er usikker på om vi kan anta det.

Fint utført, Jarle10. Problemet mitt med bevisregning er å komme frem til utførelsen.

Jarle10 wrote:Hmm,

Vi må nesten anta at summen av et irrasjonalt tall og et rasjonalt tall er irrasjonalt,

Ellers ville differansen mellom "svaret" og det rasjonale tallet blitt rasjonalt..

at produktet av et irrasjonelt tall og et rasjonalt tall er irrasjonalt,

Ellers ville forhold mellom "svaret" og det rasjonale tallet vært rasjonalt..

og at kvotienten av et irrasjonelt tall og et rasjonalt tall er irrasjonalt?

Ellers ville produktet mellom det rasjonale tallet og "svaret" vært rasjonalt..

Så mao., det tallet jeg postet _er_ et irrasjonellt tall?

Jepp, det må være det etter antakelsene (som arildno så fint beviste)

Okei, takk skal du/dere ha