Substitusjon

[Vitesse86]

Hei,

kan noen vise meg hvordan man løser substitusjons oppgaver.

En lærer prøvde å forklare meg det, men det gikk ikke inn. Boken er også håpløs.



Takk for all hjelp!

[Olorin]

Når du skal bruke substitusjon er det viktig å vite den deriverte for det du skal substituere bort for å gjøre substitusjonen mulig.

[tex]\int 2x\cos(x^2)\ \rm{d}x[/tex]

På dette integralet er det lett å se at du må bruke substitusjon.
Fungerer slik:

velger (x^2) som u, dette skal vi substituere.

u=x^2
u'=2x

[tex]\frac{du}{dx}=2x\ \Rightarrow \ dx=\frac{du}{2x}[/tex]

Dermed kan du bytte ut "dx" med [tex]\frac{du}{2x}[/tex]

Da har du:

[tex]\int 2x\cos(u)\frac{du}{2x}[/tex]

Stryk 2x og du har igjen:

[tex]\int \cos(u)\ \rm{d}u\ = \ \sin(u)+C=\sin(x^2)+C[/tex]

[Vitesse86]

Tusen takk, det begynner å sige inn.

Kan du vise meg noen flere eksempler?

Setter stor pris på all hjelp eg kan få her inne, fin plass dette her

[Olorin]

Kan vise deg et mer avansert eksempel!

Substitusjon krever noen ganger litt matematisk kreativitet

[tex]\int \frac1{1+\sqr{x}}\rm{d}x[/tex]

Setter [tex]u=1+\sqr{x}[/tex]

[tex]u^\prime = \frac1{2\sqr{x}} \ \, \frac{du}{dx}=\frac1{2\sqr{x}}\ \, \Rightarrow \ \, dx=2\sqr{x}du[/tex]

Benytter meg av at [tex]u=1+\sqr{x}[/tex] som igjen gir [tex]\sqr{x}=u-1[/tex]

da blir:

[tex]dx=2(u-1)du[/tex]

Skriver integralet på nytt

[tex]\int \frac{1}{u}\cdot2(u-1)du[/tex]

[tex]\int \frac{2(u-1)}{u}du[/tex]

[tex]\int \frac{2u-2}{u}du[/tex]

[tex]\int \frac{2u}{u}du-\int\frac{2}{u}du[/tex]

står igjen med

[tex]\int 2\rm{d}u-2\int\frac{1}{u}\rm{d}u[/tex]

[tex]\int 2\rm{d}u=2u+C[/tex]

[tex]2\int\frac1{u}\rm{d}u=2\cdot\ln(|u|)+C[/tex]

[tex]2u-2\ln(|u|)+C=2(1+\sqr{x})-2\ln(|1+\sqr{x}|)+C=2(\sqr{x}-\ln(|1+\sqr{x}|))+C[/tex]

[Vitesse86]

Kan vise deg et mer avansert eksempel!

Substitusjon krever noen ganger litt matematisk kreativitet

[tex]\int \frac1{1+\sqr{x}}\rm{d}x[/tex]

Setter [tex]u=1+\sqr{x}[/tex]

[tex]u^\prime = \frac1{2\sqr{x}} \ \, \frac{du}{dx}=\frac1{2\sqr{x}}\ \, \Rightarrow \ \, dx=2\sqr{x}du[/tex]

Benytter meg av at [tex]u=1+\sqr{x}[/tex] som igjen gir [tex]\sqr{x}=u-1[/tex]

da blir:

[tex]dx=2(u-1)du[/tex]

Skriver integralet på nytt

[tex]\int \frac{1}{u}\cdot2(u-1)du[/tex]

[tex]\int \frac{2(u-1)}{u}du[/tex]

[tex]\int \frac{2u-2}{u}du[/tex]

[tex]\int \frac{2u}{u}du-\int\frac{2}{u}du[/tex]

står igjen med

[tex]\int 2\rm{d}u-2\int\frac{1}{u}\rm{d}u[/tex]

[tex]\int 2\rm{d}u=2u+C[/tex]

[tex]2\int\frac1{u}\rm{d}u=2\cdot\ln(|u|)+C[/tex]

[tex]2u-2\ln(|u|)+C=2(1+\sqr{x})-2\ln(|1+\sqr{x}|)+C=2(\sqr{x}-\ln(|1+\sqr{x}|))+C[/tex]

Dette var litt i det allerste laget Kan du ta fram noen andre?

[Charlatan]

Jeg foreslår at heller DU finner noen oppgaver og prøver litt selv.

[Vitesse86]

Jeg foreslår at heller DU finner noen oppgaver og prøver litt selv.

Ikke vær eplekjekk nå. Ba ikke deg om hjelp.

[Charlatan]

Det var ikke meningen. Men er du ikke enig at du lærer bedre ved å løse oppgaver selv enn å la Olorin vise deg på kommando?

[Vitesse86]

Det var ikke meningen. Men er du ikke enig at du lærer bedre ved å løse oppgaver selv enn å la Olorin vise deg på kommando?

Jo, har prøvd selv også, noen flere innspill vil nok gjøre det lettere.

[Charlatan]

Jeg foreslår at du finner en oppgave, prøver selv, og finner ut akkurat hva du ikke skjønner, og så får hjelp. Mating av løsninger hjelper lite.

Prøv på denne enkle:

[tex]I = \int 2x sin(x^2) dx[/tex]

Hvis du klarer den har du forstått poenget med substitusjon, og vil kanskje kunne liknende oppgaver selv.

[Markonan]

Jeg har noe som er midt i blinken for deg!
Sjekk signaturen min, da har du masse eksempler som løses steg for steg.

Substitusjon er tatt her:
http://archives.math.utk.edu/visual.cal ... index.html

Men som Jarle10 sier må du regne oppgavene selv før du kommer til å forstå dem ordentlig. Det er veldig kjekt å lære seg notasjonen til deriveringen og de enkle operasjonene som gjør at du får dx alene på den ene siden. Når du mestrer den er det bare å lete etter deriverte ledd som krysser ut andre, eller evt. identiteter.

Lykke til!

[Vitesse86]

Jeg har noe som er midt i blinken for deg!
Sjekk signaturen min, da har du masse eksempler som løses steg for steg.

Substitusjon er tatt her:
http://archives.math.utk.edu/visual.cal ... index.html

Men som Jarle10 sier må du regne oppgavene selv før du kommer til å forstå dem ordentlig. Det er veldig kjekt å lære seg notasjonen til deriveringen og de enkle operasjonene som gjør at du får dx alene på den ene siden. Når du mestrer den er det bare å lete etter deriverte ledd som krysser ut andre, eller evt. identiteter.

Lykke til!

Tusen takk!

[Vitesse86]

Nydelig!

[Vitesse86]

Jeg foreslår at du finner en oppgave, prøver selv, og finner ut akkurat hva du ikke skjønner, og så får hjelp. Mating av løsninger hjelper lite.

Prøv på denne enkle:

[tex]I = \int 2x sin(x^2) dx[/tex]

Hvis du klarer den har du forstått poenget med substitusjon, og vil kanskje kunne liknende oppgaver selv.

[tex]I = \int 2x sin(x^2) dx[/tex]


u = x^2
u'= 2x

du/dx = 2x --> dx = du/2x


[tex]I = \int 2x sin(u) du/2x[/tex] kan stryke 2x

[tex]I = \int sin(u) du[/tex]

[tex]I = \int sin(u) du = -cos(x^2) + C[/tex]

Er det rett?

[Olorin]

Ser bra ut..

prøv deg på denne:

[tex]\int\ e^{\sin(2x)}\cdot\cos(2x)\ \rm{d}x[/tex]