matematikk.net

Hei,

kan noen vise meg hvordan man løser substitusjons oppgaver.

En lærer prøvde å forklare meg det, men det gikk ikke inn. Boken er også håpløs.



Takk for all hjelp!

Når du skal bruke substitusjon er det viktig å vite den deriverte for det du skal substituere bort for å gjøre substitusjonen mulig.

[tex]\int 2x\cos(x^2)\ \rm{d}x[/tex]

På dette integralet er det lett å se at du må bruke substitusjon.
Fungerer slik:

velger (x^2) som u, dette skal vi substituere.

u=x^2
u'=2x

[tex]\frac{du}{dx}=2x\ \Rightarrow \ dx=\frac{du}{2x}[/tex]

Dermed kan du bytte ut "dx" med [tex]\frac{du}{2x}[/tex]

Da har du:

[tex]\int 2x\cos(u)\frac{du}{2x}[/tex]

Stryk 2x og du har igjen:

[tex]\int \cos(u)\ \rm{d}u\ = \ \sin(u)+C=\sin(x^2)+C[/tex]

Tusen takk, det begynner å sige inn.

Kan du vise meg noen flere eksempler?

Setter stor pris på all hjelp eg kan få her inne, fin plass dette her

Kan vise deg et mer avansert eksempel!

Substitusjon krever noen ganger litt matematisk kreativitet

[tex]\int \frac1{1+\sqr{x}}\rm{d}x[/tex]

Setter [tex]u=1+\sqr{x}[/tex]

[tex]u^\prime = \frac1{2\sqr{x}} \ \, \frac{du}{dx}=\frac1{2\sqr{x}}\ \, \Rightarrow \ \, dx=2\sqr{x}du[/tex]

Benytter meg av at [tex]u=1+\sqr{x}[/tex] som igjen gir [tex]\sqr{x}=u-1[/tex]

da blir:

[tex]dx=2(u-1)du[/tex]

Skriver integralet på nytt

[tex]\int \frac{1}{u}\cdot2(u-1)du[/tex]

[tex]\int \frac{2(u-1)}{u}du[/tex]

[tex]\int \frac{2u-2}{u}du[/tex]

[tex]\int \frac{2u}{u}du-\int\frac{2}{u}du[/tex]

står igjen med

[tex]\int 2\rm{d}u-2\int\frac{1}{u}\rm{d}u[/tex]

[tex]\int 2\rm{d}u=2u+C[/tex]

[tex]2\int\frac1{u}\rm{d}u=2\cdot\ln(|u|)+C[/tex]

[tex]2u-2\ln(|u|)+C=2(1+\sqr{x})-2\ln(|1+\sqr{x}|)+C=2(\sqr{x}-\ln(|1+\sqr{x}|))+C[/tex]

Olorin wrote:Kan vise deg et mer avansert eksempel!

Substitusjon krever noen ganger litt matematisk kreativitet

[tex]\int \frac1{1+\sqr{x}}\rm{d}x[/tex]

Setter [tex]u=1+\sqr{x}[/tex]

[tex]u^\prime = \frac1{2\sqr{x}} \ \, \frac{du}{dx}=\frac1{2\sqr{x}}\ \, \Rightarrow \ \, dx=2\sqr{x}du[/tex]

Benytter meg av at [tex]u=1+\sqr{x}[/tex] som igjen gir [tex]\sqr{x}=u-1[/tex]

da blir:

[tex]dx=2(u-1)du[/tex]

Skriver integralet på nytt

[tex]\int \frac{1}{u}\cdot2(u-1)du[/tex]

[tex]\int \frac{2(u-1)}{u}du[/tex]

[tex]\int \frac{2u-2}{u}du[/tex]

[tex]\int \frac{2u}{u}du-\int\frac{2}{u}du[/tex]

står igjen med

[tex]\int 2\rm{d}u-2\int\frac{1}{u}\rm{d}u[/tex]

[tex]\int 2\rm{d}u=2u+C[/tex]

[tex]2\int\frac1{u}\rm{d}u=2\cdot\ln(|u|)+C[/tex]

[tex]2u-2\ln(|u|)+C=2(1+\sqr{x})-2\ln(|1+\sqr{x}|)+C=2(\sqr{x}-\ln(|1+\sqr{x}|))+C[/tex]

Dette var litt i det allerste laget Kan du ta fram noen andre?

Jeg foreslår at heller DU finner noen oppgaver og prøver litt selv.

Jarle10 wrote:Jeg foreslår at heller DU finner noen oppgaver og prøver litt selv.

Ikke vær eplekjekk nå. Ba ikke deg om hjelp.

Det var ikke meningen. Men er du ikke enig at du lærer bedre ved å løse oppgaver selv enn å la Olorin vise deg på kommando?

Jarle10 wrote:Det var ikke meningen. Men er du ikke enig at du lærer bedre ved å løse oppgaver selv enn å la Olorin vise deg på kommando?

Jo, har prøvd selv også, noen flere innspill vil nok gjøre det lettere.

Jeg foreslår at du finner en oppgave, prøver selv, og finner ut akkurat hva du ikke skjønner, og så får hjelp. Mating av løsninger hjelper lite.

Prøv på denne enkle:

[tex]I = \int 2x sin(x^2) dx[/tex]

Hvis du klarer den har du forstått poenget med substitusjon, og vil kanskje kunne liknende oppgaver selv.

Jeg har noe som er midt i blinken for deg!
Sjekk signaturen min, da har du masse eksempler som løses steg for steg.

Substitusjon er tatt her:
http://archives.math.utk.edu/visual.cal ... index.html

Men som Jarle10 sier må du regne oppgavene selv før du kommer til å forstå dem ordentlig. Det er veldig kjekt å lære seg notasjonen til deriveringen og de enkle operasjonene som gjør at du får dx alene på den ene siden. Når du mestrer den er det bare å lete etter deriverte ledd som krysser ut andre, eller evt. identiteter.

Lykke til!

Markonan wrote:Jeg har noe som er midt i blinken for deg!
Sjekk signaturen min, da har du masse eksempler som løses steg for steg.

Substitusjon er tatt her:
http://archives.math.utk.edu/visual.cal ... index.html

Men som Jarle10 sier må du regne oppgavene selv før du kommer til å forstå dem ordentlig. Det er veldig kjekt å lære seg notasjonen til deriveringen og de enkle operasjonene som gjør at du får dx alene på den ene siden. Når du mestrer den er det bare å lete etter deriverte ledd som krysser ut andre, eller evt. identiteter.

Lykke til!

Tusen takk!

Nydelig!

Jarle10 wrote:Jeg foreslår at du finner en oppgave, prøver selv, og finner ut akkurat hva du ikke skjønner, og så får hjelp. Mating av løsninger hjelper lite.

Prøv på denne enkle:

[tex]I = \int 2x sin(x^2) dx[/tex]

Hvis du klarer den har du forstått poenget med substitusjon, og vil kanskje kunne liknende oppgaver selv.

[tex]I = \int 2x sin(x^2) dx[/tex]


u = x^2
u'= 2x

du/dx = 2x --> dx = du/2x


[tex]I = \int 2x sin(u) du/2x[/tex] kan stryke 2x

[tex]I = \int sin(u) du[/tex]

[tex]I = \int sin(u) du = -cos(x^2) + C[/tex]

Er det rett?

Ser bra ut..

prøv deg på denne:

[tex]\int\ e^{\sin(2x)}\cdot\cos(2x)\ \rm{d}x[/tex]