Omvendte funksjoner

[thom_west]

Hei, jeg har litt problemer med å løse den oppgaven her.

Funksjonen h(x) = (ln x)^2 – 3ln x + 2 er definert for x > 0

a) Vis at h har en invers funksjon g for x >= e^3/2. Finn g.

Kunne noen hjulpet meg med hvordan jeg skal gå fram når jeg skal løse denne oppgaven?[/tex]

[fish]

Du må vise at funksjonen er 1-1 (injektiv). Da er det naturlig å vise at den deriverte, [tex]h^\prime(x)\geq 0[/tex] for [tex]x\geq e^{\frac{3}{2}}[/tex].

Når du skal finne den inverse, kan du bytte om [tex]x[/tex] og [tex]y[/tex] i likningen
[tex]y=\ln^2 x-3\ln x+2[/tex]

Forsøk så å løse [tex]y[/tex] som funksjon av [tex]x[/tex]. Dette er [tex]g[/tex].

[thom_west]

Det er det jeg sliter med, hvordan jeg skal løse opp (ln x) ^2. Bruker exp, men vet ikke helt hvordan jeg skal få bort ln når hele er opphøyd i andre, og ikke bare x.

[Janhaa]

Det er det jeg sliter med, hvordan jeg skal løse opp (ln x) ^2. Bruker exp, men vet ikke helt hvordan jeg skal få bort ln når hele er opphøyd i andre, og ikke bare x.

Kan du ikke sette u = ln(x), slik at

y = u[sup]2[/sup] - 3u + 2
og
u[sup]2[/sup] - 3u +(2 - y) = 0
og løse som 2. gradslik.
DA vil man få x som funksjon av y
g = x(y)

[Markonan]

Det er det jeg sliter med, hvordan jeg skal løse opp (ln x) ^2. Bruker exp, men vet ikke helt hvordan jeg skal få bort ln når hele er opphøyd i andre, og ikke bare x.

Se på hva Janhaa skrev, men til etterretning, så blir det f.eks:
[tex](ln (x))^2 = 4[/tex]

[tex](ln (x))(ln (x)) = 4[/tex]

[tex]e^{(ln (x))(ln (x))} = e^4[/tex]

[tex](x)(x) = e^4[/tex]

[tex]x^2 = e^4[/tex]

[tex]x = \sqrt{e^4}[/tex]

Lettere å se sammenhengen når man tenker det som to faktorer.

[thom_west]

Er det sånn at når jeg har fått x^2(1 - x) = e^y - e^2, så kan jeg ta kvadratroten på begge sider, og resultatet blir x = 1 - [symbol:rot] (e^y - e^2 ) ?

[thom_west]

Noen som vet svaret på oppgaven jeg har lagt ut, slik at jeg kan sjekke om jeg har gjort det riktig?

[mrcreosote]

Noen som vet svaret på oppgaven jeg har lagt ut, slik at jeg kan sjekke om jeg har gjort det riktig?

Latsabb! Post svaret du har kommet fram til, så svarer nok noen på om det er rett.

[thom_west]

Noen som vet svaret på oppgaven jeg har lagt ut, slik at jeg kan sjekke om jeg har gjort det riktig?

Latsabb! Post svaret du har kommet fram til, så svarer nok noen på om det er rett.

Jeg har postet det, det ligger jo ute her. Beklager, skal ikke mase, men er nysgjerrig.

[mrcreosote]

Unnskyld, jeg som var sløv og bare leste sisteposten. Mas i vei, min feil.

Ser ikke helt hvordan du kom fram til ligninga di. Prøv som Janhaa sier å løse ei annengradsligning så du får ln x=u=... Hvis du så tar e opphøyd i hver side har du et uttrykk for x som en funksjon av y.

[thom_west]

Har prøvd så mange forskjellige muligheter nå, men klarer ikke å få det til, kommer fram til u(u - 3) = y - 2, men så vet jeg ikke helt hva jeg skal gjøre for å komme meg til u =. Forstår du hvor jeg sitter fast?

[Olorin]

Jeg prøvde å bruke tipset til Janhaa..

endte opp med [tex]u=\frac{3\pm\sqr{1+4y}}{2}[/tex]

[tex]x=e^{\frac{3\pm\sqr{1+4y}}{2}}[/tex]

[tex]y=e^{\frac{3\pm\sqr{1+4x}}2}[/tex]

Ser ut som at [tex]y=e^{\frac{3+\sqr{1+4x}}2[/tex] kan være en invers. Litt usikker

[mrcreosote]

La det stå som det er! [tex]u^2-3u+(2-y)=0[/tex]; dette er en vanlig annengradsligning i u. De er ikke så vanskelige å løse: http://www.matematikk.net/ressurser/per ... php?aid=29

[thom_west]

Vil jeg da få to mulige svar for u? Klarer bare ikke å tenke klart jeg nå, men da får jeg u = (3 +- [symbol:rot] (9-4(2-y)) / 2 ? Hvordan skal jeg få en løsning av det her?

Er litt frustrert akkurat nå, får klarer bare ikke å se hvordan jeg skal løse den oppgaven her.

[Olorin]

Se hva jeg postet. du er på god vei til å få det samme. Hvis det er rett med andre ord..

En måte å sjekke om du har funnet invers funksjon:

[tex]f(f^{-1}(x))=x[/tex]

[tex]f^{-1}(f(x))=x[/tex]

Dette ser ut til å stemme bra for [tex]x\ge e^{\frac32}[/tex]