Har noen en genial formel på slike oppgaver der, i dette tilfellet, en isbre øker i tykkelse over vinteren og smelter litt på sommeren, og man skal finne ut hvor lang tid det tar før hele isbreen er borte? Det er noe tungvint å gange og trekke fra for hvert eneste ledd nedover, for hvis man er riktig heldig kan det ta trettitre år - og dermed trettitre linjer med regning - før isbreen er borte.
Her er oppgaven:
En isbree er 500 m tykk. Den øker hver vinter med 0,05% av tykkelsen og minker hver sommer med 60 cm. Hvor lang tid tar det før isbreen er smeltet bort hvis den fortsetter å øke og minke på den samme måten?
Rekker: øker og minker
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
mrcreosote
- Guru
- Posts: 1995
- Joined: 10/10-2006 20:58
I begynnelsen har breen størrelse i meter x[1]=500. År 2 har den x[2]=x[1]*k-0,6. Tredje året? n-te året? I love the smell of differensligninger om kvelden...
Trenger vel ikke differenslikninger vel (hvis det er det samme som differensiallikninger iallefall)
PS: [tex]60 cm = 0.6 m[/tex] og vi bruker benevningen meter gjennom hele utregningen.
Vi undersøker tykkelsen av isen etter [tex]u_n[/tex] år:
[tex]u_0=500 \\ u_1=500 \times 1.0005 - 0.6 \\ u_2=(500 \times 1.0005-0.6)\times 1.0005 - 0.6=500 \times 1.0005^2-0.6\times( 1.0005^1-\times 1.0005^0) \\ u_3=([500 \times 1.0005-0.6]\times 1.0005 - 0.6)\times 1.0005 - 0.6=500 \times 1.0005^3-0.6\times (1.0005^2-\times 1.0005^1 -\times 1.0005^0)[/tex]
Vi ser at vi kan lage det generelle leddet [tex]u_n[/tex] slik:
[tex]u_n=500 \times 1.0005^n-s_n \ \ [/tex] {hvor [tex]s_n[/tex] er summen av den geometriske rekken med det generelle leddet [tex]a_n = 0.6 \times 1.0005^{n-1}[/tex] }
[tex]s_n = 0.6 \times \frac{1.0005^n-1}{0.0005} \Rightarrow u_n=500 \times 1.0005^n-0.6 \times \frac{1.0005^n-1}{0.0005}[/tex]
Vi omgjør [tex]u_n[/tex]:
[tex]u_n=1200 - 700 \times 1.0005^n[/tex]
Vi vil vite når det blir null:
[tex]u_n=0 \Rightarrow 1.0005^n=\frac{12}{7} \Rightarrow n = \frac{\ln{12}-\ln{7}}{\ln{1.0005}} \approx 1078.26[/tex]
Som vi runder opp til 1079 år.
PS: [tex]60 cm = 0.6 m[/tex] og vi bruker benevningen meter gjennom hele utregningen.
Vi undersøker tykkelsen av isen etter [tex]u_n[/tex] år:
[tex]u_0=500 \\ u_1=500 \times 1.0005 - 0.6 \\ u_2=(500 \times 1.0005-0.6)\times 1.0005 - 0.6=500 \times 1.0005^2-0.6\times( 1.0005^1-\times 1.0005^0) \\ u_3=([500 \times 1.0005-0.6]\times 1.0005 - 0.6)\times 1.0005 - 0.6=500 \times 1.0005^3-0.6\times (1.0005^2-\times 1.0005^1 -\times 1.0005^0)[/tex]
Vi ser at vi kan lage det generelle leddet [tex]u_n[/tex] slik:
[tex]u_n=500 \times 1.0005^n-s_n \ \ [/tex] {hvor [tex]s_n[/tex] er summen av den geometriske rekken med det generelle leddet [tex]a_n = 0.6 \times 1.0005^{n-1}[/tex] }
[tex]s_n = 0.6 \times \frac{1.0005^n-1}{0.0005} \Rightarrow u_n=500 \times 1.0005^n-0.6 \times \frac{1.0005^n-1}{0.0005}[/tex]
Vi omgjør [tex]u_n[/tex]:
[tex]u_n=1200 - 700 \times 1.0005^n[/tex]
Vi vil vite når det blir null:
[tex]u_n=0 \Rightarrow 1.0005^n=\frac{12}{7} \Rightarrow n = \frac{\ln{12}-\ln{7}}{\ln{1.0005}} \approx 1078.26[/tex]
Som vi runder opp til 1079 år.
-
mrcreosote
- Guru
- Posts: 1995
- Joined: 10/10-2006 20:58
Differensligninger handler om diskrete tilfeller, differensiall. om kontinuerlige. Sjølsagt trenger vi det ikke, men det gjør at vi ikke trenger å styre med geometriske rekker i dette tilfellet.
Jarle10 wrote:
[tex]s_n = 0.6 \times \frac{1.0005^n-1}{0.0005} \Rightarrow u_n=500 \times 1.0005^n-0.6 \times \frac{1.0005^n-1}{0.0005}[/tex]
Vi omgjør [tex]u_n[/tex]:
[tex]u_n=1200 - 700 \times 1.0005^n[/tex]
Vi vil vite når det blir null:
[tex]u_n=0 \Rightarrow 1.0005^n=\frac{12}{7} \Rightarrow n = \frac{\ln{12}-\ln{7}}{\ln{1.0005}} \approx 1078.26[/tex]
Som vi runder opp til 1079 år.
Vakkert! Men hvordan fikk du [tex]u_n=1200 - 700 \times 1.0005^n[/tex] utifra [tex]s_n = 0.6 \times \frac{1.0005^n-1}{0.0005} \Rightarrow u_n=500 \times 1.0005^n-0.6 \times \frac{1.0005^n-1}{0.0005}[/tex] ?
Last edited by Krisse on 18/11-2007 21:39, edited 2 times in total.
Kunnskap er makt.
-
mrcreosote
- Guru
- Posts: 1995
- Joined: 10/10-2006 20:58
Differensligninger er stort sett greie å ha med å gjøre. Står om det i mange kalkulusbøker og kan fint leses av ivrige elever på vgs.
Har du tenkt å studere matematikk videre forresten?
Har du tenkt å studere matematikk videre forresten?
Det kan du stole på 
Jeg holder på med IB boka Higher level og Options Higher and Further level for øyeblikket og er på vei mot differensiallikninger. Synes den er veldig grei, for man lærer mange grunnleggende ting fra vgs på en mer omfattende og bedre måte i tillegg til introduksjoner til mange andre ting man ikke lærer på vgs.
Krisse:
Det er bare en algebraisk omskrivning. [tex]0.6 \times \frac{1.0005^n-1}{0.0005}= \frac{0.6 \times 1.0005^n-0.6}{0.005}=\frac{0.6}{0.005}\times 1.0005^n -\frac{0.6}{0.0005} = 1200 \times 1.0005^n-1200[/tex]
Så setter du det bare inn..
Jeg holder på med IB boka Higher level og Options Higher and Further level for øyeblikket og er på vei mot differensiallikninger. Synes den er veldig grei, for man lærer mange grunnleggende ting fra vgs på en mer omfattende og bedre måte i tillegg til introduksjoner til mange andre ting man ikke lærer på vgs.
Krisse:
Det er bare en algebraisk omskrivning. [tex]0.6 \times \frac{1.0005^n-1}{0.0005}= \frac{0.6 \times 1.0005^n-0.6}{0.005}=\frac{0.6}{0.005}\times 1.0005^n -\frac{0.6}{0.0005} = 1200 \times 1.0005^n-1200[/tex]
Så setter du det bare inn..
