Potens

[NuduaNrøjb]

OK, jeg har et spm. Hvordan kan jeg bevise at 2^x^2^x = 3
Takk på forhånd.

[Markonan]

Er det
[tex]2^{x^{2^x}} = 3[/tex]

du skal bevise? Det kan nok ikke bevises hvis x er en variabel. Da kan det jo i prinsippet være alle mulige tall.

[magneam]

Hmm.. X kan ikke være alle mulige tall.. Det er bare å sjekke ved innsetting.. x = 0 gir 1 og x = [symbol:plussminus] 1 gir 4. For x > 1 går uttrykket mot [symbol:uendelig] og for x < -1 går det også mot [symbol:uendelig].
Uttrykket må derfor ha to løsninger for x i intervallet [1,-1]

[tex] 2^{x^{2^{x}}} = 3 [/tex]
[tex] x^{2^{x}} = \frac{ln 3}{ln2} [/tex]
[tex] 2^{x} lnx = ln (\frac{ln 3}{ln2}) [/tex]
[tex] ln (2^{x} lnx) = ln (ln (\frac{ln 3}{ln2})) [/tex]
[tex] ln(2^{x}) + ln(ln(x)) = ln (ln (\frac{ln 3}{ln2})) [/tex]
[tex] x ln 2 + ln(ln(x)) = ln (ln (\frac{ln 3}{ln2})) = konstant [/tex]
[tex] x ln 2 + ln(ln(x)) = konstant [/tex]

Tror det skal være riktig så langt, men videre utregninger blir grisete for meg
Noen andre som ser en enklere løsning/evnt fortsettelse?

[Markonan]

Det gir fortsatt ikke mening å si
'Bevis at ... = 3'.

Det du regner ut er
'Finn x når ... = 3'.

Tenkte på å substituere 2^x med u, men jeg kan ikke huske å ha vært borti hvordan man løser sånne oppgaver. Var nok borte fra skolen den dagen.

[magneam]

Jeg er heller ikke sikker på hvordan man løser likninger av typen
[tex] x^x = k [/tex]

Det er vel dette som er forskjellen på analytisk og numerisk tilnærming. Vi vet at det finnes ett svar ved prøving/bruk av computer/tegne graf, men det å vise det analytisk er en annen sak.

[Janhaa]

Jeg er heller ikke sikker på hvordan man løser likninger av typen
[tex] x^x = k [/tex]

Sjekk linken (under) for løsning av likninga over;

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... erts+omega

se spesielt på første eksempel med k = 100. Bra forklart av dao dette.