matematikk.net

Eksisterer grenseverdien?

[tex]f(x,y) = \frac{xy(x-y)}{x^2+y^4}[/tex]

[tex]\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \ f(x,y)[/tex]

Dette er hva jeg har gjort:

[tex]\large|\frac{xy(x-y)}{x^2+y^4}\large| < \epsilon[/tex] så lenge [tex]0 < \sqrt{x^2+y^2} < \delta[/tex]

[tex]\frac{x^2|y|-y^2|x|}{x^2+y^4} < \epsilon[/tex]

Hva er neste skritt?

Det blir veldig tungvint, lønner seg ofte å sjekke grenseverdien når du beveger deg mot origo langs noen enkle kurver først. For eksempel ser du at f(x,0)=0 når x ikke er 0, så grenseverdien må være 0 om den skal eksistere. Se om du kan finne ei annen kurve som forteller deg at grenseverdien må være noe annet, da har du vist at den ikke kan eksistere.

Fikk tips av Magnus om å gjøre om til polarkoordinater, forfølger den jeg.. Poster her om jeg ikke kommer videre Men takk for tipset.

Okei, vi prøver.

[tex]f(x,y) = \frac{xy(x-y)}{x^2+y^4}[/tex]

[tex]f(r\cos{\theta},r\sin{\theta}) = \frac{r\cos{\theta}r\sin{\theta}(r\cos{\theta} - r\sin{\theta})}{r^2\cos^2{\theta} + r^4\sin^4{\theta}}[/tex]

[tex]f(r\cos{\theta},r\sin{\theta}) = \frac{\cancel{r^2}\cos{\theta}\sin{\theta}(r\cos{\theta}-r\sin{\theta})}{\cancel{r^2}(\cos^2{\theta}+r^2\sin^4{\theta})}[/tex]

[tex]f(r\cos{\theta},r\sin{\theta}) = \frac{r\cos^2{\theta}\sin{\theta}-r\cos{\theta}\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta} + r^2\sin^4{\theta}}[/tex]

Følgelig eksisterer grenseverdien (?)

[tex]\lim_{r\rightarrow 0} \ \frac{r\cos^2{\theta}\sin{\theta}-r\cos{\theta}\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta} + r^2\sin^4{\theta}} \ \rightarrow \ 0[/tex]

Ja, funker fint det.

Alternativ: For [tex]xy\ne0[/tex] er [tex]f(x,0)=0[/tex] og [tex]f(y^2,y)=\frac{y-1}2[/tex] som går mot ulike verdier når vi går til grensene, følgelig eksisterer ikke grenseverdien.

Du mener det fungerer fint, men i ditt eget (og korrekte) eksempel eksisterer den ikke? Problemet til zell er forøvrig når t=pi/2, som gir et 0/0-uttrykk.

Nei, zell har endra konklusjonen sin mens jeg skreiv tydeligvis, sånn det står nå stemmer det sjølsagt ikke.

Stemmer, jeg gjorde det

Fant ut av det likevel. I deloppgaven før denne oppgaven ble vi bedt om å parametrisere to kurver av konturplotten som ikke hadde samme grenseverdi når t -> 0. Dermed kan ikke grenseverdien eksistere, da den ikke er lik for alle parametriseringer av kurven (?).