Oppgave 1
a.I)
[tex]f(x)=x^2 + 2cos x \\ \, \\ f\prime(x) = (x^2)\prime + 2 (cos x)\prime \\ \, \\ \underline{\underline{f\prime(x) = 2x -2sin x}}[/tex]
a.II)
[tex]f(x) = x^2 ln x \\ \, \\ f\prime(x) = (x^2)\prime \cdot lnx + x^2 \cdot (lnx)\prime \\ \, \\ 2x \cdot lnx + x^2 \cdot \frac 1x \\ \, \\ f\prime(x) = 2x \cdot lnx + \frac{x^{\cancel 2}}{\cancel x} \\ \, \\ \underline{\underline{f\prime(x) = x(2lnx +1)[/tex]
b.I.1)
Her er jeg usikker på om de mener vektorkoordinatene til [tex]\vec {AB} \, eller\, |\vec{AB}|[/tex]
[tex]\vec{AB} = [5-2, 2-1] = [3, 1] \\ \, \\ |\vec{AB}| = \sqrt{(3)^2 + (1)^2} = \underline{\underline{\sqrt{10}}}[/tex]
Alternativt:
[tex]|\vec{AB}| = \sqrt{(5-2)^2 + (2-1)^2} = \underline{\underline{\sqrt{10}}}[/tex]
b.I.2
[tex]\vec{AB} \perp \vec{BC} \, n\aa r \, |\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}| = 0 \\ \, \\ \vec{BC} = [4-5, 5-2] = \underline{[-1, 3]} \\ \, \\ \, \\ \, \vec{AB} \cdot \vec{BC} = [3, 1] \cdot [-1, 3] = -3 + 3 = \underline{\underline{0}}[/tex]
b.II.1)
[tex]\vec{AB} = [(6-t) - 2, (1+t) - 1] = [4-t, t] \\ \, \\ \vec{BC} = [4-(6-t), 5 - (1+t)] = [t -2, 4 -t] \\ \, \\ \, \\ \, \vec {AB} \cdot \vec{BC} = 0 \\ \, \\ [4-t,t] \cdot [t-2, 4-t] = \\ \, \\(4-t)(t-2) + t(4-t) = \\ \, \\ 6t - 8 -t^2 +4t -t^2 = 0 \\ \, \\ -2t^2 + 10t - 8 = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, |:2 \\ \, \\ -t^2 + 5t - 4 = 0 \,\,\,\,\,\,\,\, abc-formel \\ \, \\ \underline{t_1= 1} \,\,\, \vee \,\,\, \underline{t_2= 4}[/tex]
Så setter me ein prøve for å sjå litt!
Prøve for [tex]t_1[/tex]:
[tex][4-1, 1] \cdot [1-2, 4-1] = 3\cdot (-1) + 1 \cdot 3 = \underline{0} \\ \, \\ \, \\ \, \\ t_2 \\ \, \\ [4-4, 4] \cdot [4-2, 4-4] = 0 \cdot 2 + 4 \cdot 0 = \underline{0} \\ \, \\ \, \\ \, \\ \, \underline{\underline{t = \{1,4\}}}[/tex]
b.II.2)
Tegne figur? Jeg tror du er gæærn, jeg! Figur kommer (kanskje) senere.
c.I)
[tex]f(x) = x^2 - 2x \\ \, \\ -\int_0^2 \left(f(x)\right) {\rm dx} = \left [ \frac 13 x^3 - 2 \cdot \frac 12 \cdot x^2\right]_0^2 = \left[\frac 13 x^3 - x^2\right]_0^2 = F(2) - F(0) = \\ \, \\ \, \\ \left(\frac 13 \cdot (2)^3 - (2)^2 \right) - (0) = \frac 83 - \frac {12}{3} = -\frac 43 = \underline{\underline{\frac 43}}[/tex]
* Negativt fortegn foran integralet.
c.II)
Spørsmål: Finnes det noe funksjonsuttrykk som ser slik ut? Jeg mener, er det mulig å integrere denne som en normal funksjon?
Løsning:
[tex]A = 1\cdot 1 =1\\ \, \\ B = 1\cdot \frac 12 = \frac 12 \\ \, \\ \int_0^3 g(x) = (A + B) = \underline{\underline{\frac 32}}[/tex]
d.I)
[tex]4e^{0.4x} = 2 \\ \, \\ e^{0.4x} = \frac 24 \\ \, \\ 0.4x \cdot ln e = ln(\frac 12) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, ln e = 1 \\ \, \\ x = \frac{ln 1 - ln 2}{0.4} \\ \, \\ x = -\frac{ln2}{0.4} \\ \, \\ \underline{\underline{x \approx -1.734}}[/tex]
d.II.1)
[tex]f(t) = 1000 \cdot 2^t \\ \, \\ f(t) 1000 \cdot e^{(ln 2) \cdot t} \\ \, \\ \underline{\underline{f_e(t) = 1000 \cdot e^{0.6931\cdot t}}}[/tex]
d.II.2)
Vi kan bruke begge funksjonene for å finne dette fordi de er ekvivalente. (I alle fall til en viss grad, hehe. Det ble jo avrundet litt under omformingen fra potens- til logaritmefunksjon med e som grunntall.)
Med potensfunksjon:
[tex]f(t) = 3000 \\ \, \\ 1000 \cdot 2^t = 3000 \\ \, \\ 2^t = 3 \\ \, \\ t \cdot log 2 = log 3 \\ \, \\ t = \frac{log 3}{log 2} \\ \, \\ t \approx \underline{1.58}[/tex]
Med eksponentialfunksjonen med e som grunntall:
[tex]f_e(t) = 3000 \\ \, \\ 1000 \cdot e^{0.6931\cdot t} = 3000 \\ \, \\ e^{0.6931 \cdot t} = 3 \\ \, \\ 0.6931t \cdot ln e = ln 3 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, lne = 1 \\ \, \\ t = \frac{ln 3}{0.6931} \\ \, \\ t \approx \underline{\underline{1.58}}[/tex]
e.I)
-[tex]x^2 +50x -400\, > \, 0 \\ \, \\ \, \\ \, \\ \, \\ -x^2 + 50x - 400 = 0 \,\,\,\,\,\, finner\, 0-punktene \\ \, \\ x = \frac{-(50) \pm \sqrt{(50)^2 -4 \cdot (-1) \cdot (-400)}}{2\cdot (-1)} \\ \, \\ x = \frac{-50 \pm \sqrt{2500 - 1600}}{-2} \\ \, \\ x = \frac{-50\pm 30}{-2} \\ \, \\ \underline{x_1 = 40} \,\,\, \vee \,\,\, \underline{x_2 = 10}[/tex]
Av funksjonsuttrykket ser vi at [tex]x^2[/tex] er negativ, og dermed vender parabelen den hule siden ned.
[tex]L = \langle \leftarrow, 10\rangle\,\cap\, \langle 40, \rightarrow \rangle \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\, 10>x>40[/tex]
Vi kan bevise at ulikheten er sann ved regning også. Da putter vi bare inn en verdi for [tex]x \in [10, 40][/tex] og observerer at f(x) er positiv. Hvis vi putter inn en verdi for[tex] x \not \in [10, 40][/tex] vil vi se at f(x) er negativ, og for [tex]x = \{10, 40}[/tex] er f(x) = 0.
e.II)
[tex]K(x) = x^2 - 40x + 400[/tex]
Jeg uttrykker omsetningen ved:
[tex]O(x) = 10x[/tex]
det O(x) er omsetningen i kroner, uttrykt ved x antall salg à 10 kroner.
[tex]K(x) \, <\, O(x) \\ \, \\ x^2 - 40x + 400 \, <\, 10x \\ \, \\ x^2 -50x + 400 \, < \, 0 \\ \, \\ x^2 - 50x + 400 = 0 \,\,\,\,\,\, abc-formel \\ \, \\ \underline{x_1= 10} \,\,\, \vee \,\,\, \underline{x_2= 40}[/tex]
Vi observerer at x^2 er positiv, og konstaterer at funksjonen vender den hule siden opp.
[tex]\underline{\underline{L = \langle 10, 40\rangle}}[/tex]
Dette var en lite lukerativ gesjeft, de tjener kun penger når de produserer mellom 10 og 40 enheter!!!
f.I)
[tex]\frac{sin(\angle C)}{AB} = \frac{sin(\angle A)}{BC}\\ \, \\ sin(\angle C) = \frac{sin(30\textdegree) \cdot 6.0}{4.0} \\ \, \\ \angle C = sin^{-1}(\frac{sin(30\textdegree) \cdot 6,0}{4.0}) \\ \, \\ \angle C \approx \underline{\underline{48.6\textdegree}}[/tex]
Trekanten er entydig bestemt.
f.II)
OBS! Alle mål på tegningen er tilnærmingsverdier.
- Hvis man får oppgitt to sider og én vinkel, og den motstående kateten er den korteste, da kan det være to løsninger.
Av tegningen ser du at både C_1 og C_2 er alternative løsninger, mens når BC står vinkelrett på AC er det kun én løsning.
Videre er den kortest mulig lengden av BC = C_3, dersom BC er kortere enn dette, finnes ingen løsning, for da dannes det ingen trekant.
a)
[tex]T = A \cdot r^B \\ \, \\ lg T = lg(A\cdot r^B) \\ \, \\ lgT = lg (A) + lg(r^B) \\ \, \\ lg T = lg A + B\cdot lg r[/tex]
c)
d)
[tex]lg T = A \cdot lg r +B = 10^{lg T} = 10^{A \cdot lg r + B} = 10^B \cdot (10^{lg r})^A \\ \, \\ \, \\ T(r) = 10^{-3.28} \cdot r^{1.503} \\ \, \\ \underline{\underline{T(r) = 5.25 \cdot 10^{-4} \cdot r^{1.503}}}[/tex]
e)
[tex]y=a\cdot x^b \,\, \left\{ \text{a = 5.4738 \cdot 10^{-4}\\b = 1.49980931\\r = 0.99996895\\r^2 = 0.9999379} \right[/tex]
Ja, dette stemte overraskende bra med den grafiske løsningen!
f)
Fra regresjonen:
[tex]T(r) = 5.4738\cdot 10^{-4} \cdot r^{1.49980931} \\ \, \\ T(250) = 2.1614 \\ \, \\ T(450) = 5.2191[/tex]
[tex]\frac{2.1614^2}{250^3} = \underline{2.989\cdot 10^{-7}} \\ \, \\ \frac{5.2191^2}{450^3} = \underline{2.989\cdot 10^{-7}}[/tex]
Jada, jeg er så enig med Kepplermannen atte!!
a)
b)
[tex]y = 0 \\ \, \\ -5t^2 +50t +10 = 0 \,\,\,\,\,\,\, abc-formel \\ \, \\ \underline{t_1 = 10.196} \,\,\, \vee \,\,\, \underline{t_2 = -0.196} \,\,\,\,\,\,\, t\, > 0 \\ \, \\ \underline{\underline{t= 10.196\, sekunder}}[/tex]
c)
Se tegning.
d)
Det tar 10.196 sekunder fra kanonkulen når sitt endepunkt.
[tex]x = 90t \\ \, \\x = 90 \cdot 10.196 \underline{915.64\, m}[/tex]
[tex]x = v \cdot t + 805 \\ \, \\ 915.64 = v\cdot 10.196 + 805 \\ \, \\ 10.196v = 915.64 - 805 \\ \, \\ v = \frac{67.64}{10.196} \\ \, \\ \underline{\underline{6.63 \, m/s \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\, 12.9\, knop}}[/tex]
Tar meg en pause nå, det er en oppgave igjen, men jeg orker ikke akkurat nu.