Page 1 of 1

Integrasjon

Posted: 28/05-2008 00:24
by MatteNoob
Image

Jeg ressonerte at:

[tex]g(x) = x\,\,\,\,\,\,\, x\in [0,1] \\ \, \\ g(x) = -x+2 \,\,\,\,\,\, x\in [1,3][/tex]


Når jeg integrerte fikk jeg at det bestemte integralet ble [tex]\frac{1}{2}[/tex]

Kan noen ta den, og si om de er enige? Jeg synes liksom at det ser ut som om det er 1 hel...

Posted: 28/05-2008 00:49
by bartleif
Arealet under grafen [tex]x\in [2,3][/tex], der blir jo arealet [tex]-\frac{1}{2}[/tex]
Vet ikke hvordan å integrere uten kalkulatoren, og selvfølgelig en haug klumsete geometriske former under grafen 8-) dumt 1mx var så treig igang med integrering

Tar vel ikke med det arealet gjør man? er vell bare mellom x-aksen og grafen?

Posted: 28/05-2008 01:16
by Janhaa
Areal = 0,5 er riktig. Flere måter å se/regne dette på.

[tex]A=\int_0^1 x\,{\rm dx}\,+\,\int_1^3 (-x+2)\,{\rm dx}\,=\,{1\over 2}x^2|_0^1\,+\,(-{1\over 2}x^2+2x)|_1^3\,=\,{1\over 2}[/tex]

-------------------------------------------------------------

[tex]{A\over 2}\,+\,{B\over 2}\,=\,0[/tex]

[tex]Areal={A\over 2}={1\over 2}[/tex]

--------------------------------------------------------------

[tex]Areal(A)=1[/tex]
[tex]Areal(B)=-{1\over 2}[/tex]


[tex]\int_0^3\,g(x){\rm dx}=\text Areal(A)\,+\,Areal(B)\,=\,{1\over 2}[/tex]

Posted: 28/05-2008 01:22
by MatteNoob
Men hva om grafen representerte en bil som kjører. Da kjører den først fremover, og så snur den og kjører bakover (når grafen går under x=0).

Da blir jo den tilbakelagte strekningen [tex]\frac{2}{3}[/tex], mens netto lengde er [tex]\frac 12[/tex]

Posted: 28/05-2008 04:21
by Dinithion
[tex]g(x) = x\,dx\,\,\, x \in [0,1]\\g(x) = 2-x\,dx\,\,\, x \in [1,3][/tex]

[tex]\int_0^1 x\, dx + \int_1^3 2-x\, dx[/tex]

[tex][\frac{1}{2}x^2]_0^1 + [2x-\frac{1}{2} x^2]_1^3[/tex]

[tex]\frac{1}{2} + ((6 - \frac{9}{2}) - (2 - \frac{1}{2})) = \frac{1}{2} + ((\frac{12-9}{2}) - (\frac{4-1}{2})) = \frac{1}{2} + \cancel{\frac{3}{2}} - \cancel{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2}[/tex]

For å finne totalt areal må vi trikse litt. Da må vi dele opp den siste integreringen for å få den til å bidra i positiv størrelse istedenfor negativ. Da kan vi ta absoluttverdien av den, eller bare å bytte om på øvre og nedre grense. Altså

[tex][\frac{1}{2} x^2]_0^1 + [2x-\frac{1}{2} x^2]_1^2 + [2x-\frac{1}{2} x^2]_3^2[/tex]

[tex]\frac{1}{2} + ((4-\frac{4}{2})-(2-\frac{1}{2})) + ((4-\frac{4}{2})-(6-\frac{9}{2})) = \frac{1}{2} + (2 - \frac{3}{2}) + (2 - \frac{3}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}[/tex]

Man kan jo også si det sånn at når man integrerer 2-x, så vil halvparten være over 0, og den andre vil være under null. Altså utligninger de hverandre. Derfor står man igjen med en halv, som er integralet av x fra 0 til 1. Mens på den siste så regner vi arealet mellom den første (Som vanlig) og den ble en halv. Fra 1 til 2 på den andre får vi en halv, og fra 2 til 3 får vi negativ en halv (Altså arealet mellom grafen og førsteaksen ligger under null). Vi gjør om den negative halve til positiv halv, og vi ender opp med tre halve.

Edit:
Fant ut at mye av det jeg hadde skrevet var selvmotsigende. Men utregningene var likefullt riktige, så jeg endret litt på teksten og lot utregningene stå.

Posted: 28/05-2008 13:44
by superpus
Dinithion wrote:[tex]g(x) = x\,dx\,\,\, x \in [0,1]\\g(x) = 2-x\,dx\,\,\, x \in [1,3][/tex]

Hvordan kommer man frem til dette da ? :oops:

Posted: 28/05-2008 13:50
by zell
For x mellom 0 og 1, har funksjonen likt stigningstall.

Vi observerer også at når y = 1, så er x=1.

y = x + b

I punktet (0,0) er y = 0, x = 0, får: 0 = 0 + b -> b = 0.

I punktet (1,1) "snur" grafen, og vi får negativt stigningstall. Ser at grafen skjærer x-aksen i (2,0)

Får da:

[tex]a = \frac{1-2}{2-1} = -1[/tex]

[tex]y = -x+b[/tex]

Så at grafen skjærte x-aksen i (2,0)

[tex]0 = -2 + b \ \Rightarrow \ b = 2[/tex]

Får: y = -x+2 for x mellom 1 og 3.

Posted: 28/05-2008 13:57
by superpus
Ååja. Det er så deilig når alt faller på plass ! Takk