Integrasjon

[MatteNoob]

Jeg ressonerte at:

[tex]g(x) = x\,\,\,\,\,\,\, x\in [0,1] \\ \, \\ g(x) = -x+2 \,\,\,\,\,\, x\in [1,3][/tex]


Når jeg integrerte fikk jeg at det bestemte integralet ble [tex]\frac{1}{2}[/tex]

Kan noen ta den, og si om de er enige? Jeg synes liksom at det ser ut som om det er 1 hel...

[bartleif]

Arealet under grafen [tex]x\in [2,3][/tex], der blir jo arealet [tex]-\frac{1}{2}[/tex]
Vet ikke hvordan å integrere uten kalkulatoren, og selvfølgelig en haug klumsete geometriske former under grafen dumt 1mx var så treig igang med integrering

Tar vel ikke med det arealet gjør man? er vell bare mellom x-aksen og grafen?

[Janhaa]

Areal = 0,5 er riktig. Flere måter å se/regne dette på.

[tex]A=\int_0^1 x\,{\rm dx}\,+\,\int_1^3 (-x+2)\,{\rm dx}\,=\,{1\over 2}x^2|_0^1\,+\,(-{1\over 2}x^2+2x)|_1^3\,=\,{1\over 2}[/tex]

-------------------------------------------------------------

[tex]{A\over 2}\,+\,{B\over 2}\,=\,0[/tex]

[tex]Areal={A\over 2}={1\over 2}[/tex]

--------------------------------------------------------------

[tex]Areal(A)=1[/tex]
[tex]Areal(B)=-{1\over 2}[/tex]


[tex]\int_0^3\,g(x){\rm dx}=\text Areal(A)\,+\,Areal(B)\,=\,{1\over 2}[/tex]

[MatteNoob]

Men hva om grafen representerte en bil som kjører. Da kjører den først fremover, og så snur den og kjører bakover (når grafen går under x=0).

Da blir jo den tilbakelagte strekningen [tex]\frac{2}{3}[/tex], mens netto lengde er [tex]\frac 12[/tex]

[Dinithion]

[tex]g(x) = x\,dx\,\,\, x \in [0,1]\\g(x) = 2-x\,dx\,\,\, x \in [1,3][/tex]

[tex]\int_0^1 x\, dx + \int_1^3 2-x\, dx[/tex]

[tex][\frac{1}{2}x^2]_0^1 + [2x-\frac{1}{2} x^2]_1^3[/tex]

[tex]\frac{1}{2} + ((6 - \frac{9}{2}) - (2 - \frac{1}{2})) = \frac{1}{2} + ((\frac{12-9}{2}) - (\frac{4-1}{2})) = \frac{1}{2} + \cancel{\frac{3}{2}} - \cancel{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2}[/tex]

For å finne totalt areal må vi trikse litt. Da må vi dele opp den siste integreringen for å få den til å bidra i positiv størrelse istedenfor negativ. Da kan vi ta absoluttverdien av den, eller bare å bytte om på øvre og nedre grense. Altså

[tex][\frac{1}{2} x^2]_0^1 + [2x-\frac{1}{2} x^2]_1^2 + [2x-\frac{1}{2} x^2]_3^2[/tex]

[tex]\frac{1}{2} + ((4-\frac{4}{2})-(2-\frac{1}{2})) + ((4-\frac{4}{2})-(6-\frac{9}{2})) = \frac{1}{2} + (2 - \frac{3}{2}) + (2 - \frac{3}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}[/tex]

Man kan jo også si det sånn at når man integrerer 2-x, så vil halvparten være over 0, og den andre vil være under null. Altså utligninger de hverandre. Derfor står man igjen med en halv, som er integralet av x fra 0 til 1. Mens på den siste så regner vi arealet mellom den første (Som vanlig) og den ble en halv. Fra 1 til 2 på den andre får vi en halv, og fra 2 til 3 får vi negativ en halv (Altså arealet mellom grafen og førsteaksen ligger under null). Vi gjør om den negative halve til positiv halv, og vi ender opp med tre halve.

Edit:
Fant ut at mye av det jeg hadde skrevet var selvmotsigende. Men utregningene var likefullt riktige, så jeg endret litt på teksten og lot utregningene stå.

[superpus]

[tex]g(x) = x\,dx\,\,\, x \in [0,1]\\g(x) = 2-x\,dx\,\,\, x \in [1,3][/tex]

Hvordan kommer man frem til dette da ?

[zell]

For x mellom 0 og 1, har funksjonen likt stigningstall.

Vi observerer også at når y = 1, så er x=1.

y = x + b

I punktet (0,0) er y = 0, x = 0, får: 0 = 0 + b -> b = 0.

I punktet (1,1) "snur" grafen, og vi får negativt stigningstall. Ser at grafen skjærer x-aksen i (2,0)

Får da:

[tex]a = \frac{1-2}{2-1} = -1[/tex]

[tex]y = -x+b[/tex]

Så at grafen skjærte x-aksen i (2,0)

[tex]0 = -2 + b \ \Rightarrow \ b = 2[/tex]

Får: y = -x+2 for x mellom 1 og 3.

[superpus]

Ååja. Det er så deilig når alt faller på plass ! Takk