matematikk.net

Lurer på om noen kan svare på denne oppgaven. Den ble gitt på eksamen idag.

Vi har funksjonen [tex]f_{\small(x,y)}=-3x^2+2y^2[/tex]

Finn minimumspunktet til [tex]f_{\small(x,y)}[/tex] når bibetingelsen [tex]3x-y= 15[/tex] skal gjelde.

Jeg brukte Lagranges metode og fikk:

[tex]f^\prime_x=-6x-3\lambda\\f^\prime_y=4y+\lambda[/tex]

Ganget y med 3 og fikk :

[tex]f^{\prime\prime}\._{xx}=-6 \;\;A [/tex]
[tex]f^{\prime\prime}\._{xy}=0 \;\;B[/tex]
[tex]f^{\prime\prime}\._{yy}=12\;\; C[/tex]

Så bruker jeg formelen for å finne min.punkt [tex]A\ast C-B^2\; >\;0\;\;\;\;A\;>\;0[/tex]

Men det stemmer jo ikke ? Så her må jeg ha gjort noe feil..

hvis funksjonen du har skrevet er riktig, dvs f(x, y)
så blir f[sub]y[/sub]' = 2
og
så blir f[sub]y[/sub]'' = 0

altså A < 0, B = 0 0g C = 0

dermed blir:

[tex]\Delta = A\cdot C - B^2 = 0[/tex]

og testen er ubrukelig...du må gjøre noe annet...hvis jeg har forstått
oppgava og deg riktig

Ja, jeg hadde glemt en liten potens over y. Fikset nå.

Når du bruker Lagranges metode finner du maks/min innenfor et område eller en rand, i dette tilfellet en rand.

Du skal da ikke bruke annenderiverttesten for kritiske punkter for å klassifisere maks/min, men rett og slett smette de verdiene du fant inn i f(x,y). Da vil maks/min poppe ut.

Så jeg skal bruke dette inn i den opprinnelige ?

[tex]f^\prime_x=-6x-3\lambda\\f^\prime_y=4y+\lambda [/tex]

Eller skal jeg gange vekk [tex]\lambda[/tex] og så putte inn ? Ja, det siste virker logisk..

Lagrange sier at gradienten til f, skal være parallell med gradienten til g.

[tex]\nabla f = [-6x,4y] \ , \ \nabla g =[3,-1][/tex]

Følgelig har vi:

[tex]I: \ -6x = 3\lambda \\ II: \ 4y = -\lambda \\ III: \ 3x-y=15[/tex]

ganger II med -3 og får:

[tex]-6x = -12y \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2}x[/tex]

Setter dette inn i III:

[tex]3x - \frac{1}{2}x = 15 \ \Rightarrow \ x = 6[/tex]

Som igjen gir oss: [tex]y = 3[/tex]

Følgelig har vi minimumspunktet: (6,3)

Søren klype, var jo nesten det samme som jeg fikk svar på igår. Var det ikke ?

Men en liten ting hvorfor ganger du opp med -3 ? Da får man jo ikke bort [tex]\lambda[/tex].. Men tviler ikke på at det er riktig selvom.

EDIT:

Nei, forresten glem det.. Så det nå.