matematikk.net

En annen oppgave som ble gitt til eksamen er denne :

Funksjonene [tex]f(x)[/tex] og [tex]g(x)[/tex] er definert ved at [tex]f(x) = -x+b[/tex] der b er en konstant og [tex]g(x)=\frac{2}{x}[/tex] der x > 0


a) For hvilke verdier av b har grafene til [tex]f(x)[/tex] og [tex]g(x)[/tex] to punkter felles ?

Her skal jeg ærlig innrømme at jeg ikke hadde litt snøring engang.
Noen som vet ?


b) Finn arealet mellom grafene til [tex]f(x)[/tex] og [tex]g(x)[/tex] når b = 3

[tex]f(x) = g(x)[/tex]

[tex]-x+b = \frac{2}{x}[/tex]

[tex]-x^2+bx-2 = 0[/tex]

[tex]x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-8}}{-2}[/tex]

Altså vil grafene g og f ha to punkter til felles dersom:

[tex]b \not{=} 0, \ \rm{og} \ b > \sqrt{8} \ \vee \ b < -\sqrt{8}[/tex]

b) Finn ut hvem av grafene som ligger øverst mellom skjæringspunktene.

b = 3: [tex]f(x) = 3-x[/tex]

[tex]g(x) = \frac{2}{x}[/tex]

Skjæringspunkter (bruker formel fra a)): [tex]x = 1 \ \vee \ x = 2[/tex]

Sjekker x = 1.5

[tex]f(1.5) = 1.5 \ , \ g(1.5) = 1.33[/tex]

Altså har vi:

[tex]\int_1^2 (f(x)-g(x))\rm{d}x[/tex]

fort og gæli...3 min

a)
er vel bare å sette f = g
og regne og kose seg:

[tex]-x+b={2\over x}\,\,[/tex]x>0

[tex]x^2-bx+2=0[/tex]

som iallfall to positive løsninger for x for b > [symbol:rot]8

------------------------------------------------------------


b)

[tex]A=\int_1^2 (f\,-\,g){\rm dx}={3\over 2}\,-2\ln(2)[/tex]

fåglarne veit om det er riktig...nå bikker jeg i horisontal...

---------------------------------


EDIT,

der var zellegutten kjappere...jauda...

zell wrote:[tex]f(x) = g(x)[/tex]
[tex]-x+b = \frac{2}{x}[/tex]

Yej, så langt kom jeg. Synd det var på kladden min. Kanskje jeg kunne fått noen ekstrapoeng !

Men jeg skjønte ikke helt hvor du fikk skjæringspunktene fra ? x =1 og x =2

Ellers var det forståelig. Takk

Skrev jo opp en formel for skjæringspunktene i a).

Du er enig i at grafene skjærer hverandre når f(x) = g(x) ?

i a) løste vi generelt for variabelen b, i oppgave b) får vi oppgitt b = 3, satte bare inn denne verdien i uttrykket fra a)

Åja.. Ja, er helt enig. Lang dag..

zell wrote:[tex]f(x) = g(x)[/tex]

[tex]-x+b = \frac{2}{x}[/tex]

[tex]-x^2+bx-2 = 0[/tex]

[tex]x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-8}}{-2}[/tex]

Altså vil grafene g og f ha to punkter til felles dersom:

[tex]b \not{=} 0, \ \rm{og} \ b > \sqrt{8} \ \vee \ b < -\sqrt{8}[/tex]

Hvordan ressonerer du på det siste der, zell (eller Janhaa)

Jeg gjorde det mye mer komplisert, og jeg slettet løsningen min fordi den var dårlig i forhold. Jeg fant ut hvor den dobbeltderiverte krysset, og dermed også konstanten til tangenten i det punktet.

Se her: [tex]\pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot 2} = \pm \sqrt{b^2 - 8}[/tex] (en del av annengradslikningen.)

Kan du ta roten av et negativt tall? Vil likningen ha en løsning da? Hvis likningen ikke har en løsning, hva vil det si om [tex]g(x) = f(x)[/tex]? Hvilke verdier av b, gjør at [tex]b^2 - 8[/tex] blir mindre enn 0?

Hvis [tex]b^2 - 8[/tex] blir 0, blir jo løsningen [tex]\frac{-b \pm \sqrt{0}}{-2} = \frac{-b}{-2}[/tex] altså bare én løsning. Hvilke verdier for b gir [tex]b^2 - 8 = 0[/tex]? Hvor mange ganger vil da g(x) være lik f(x)?

[tex]-x^2 + bx - 2 = 0[/tex]

[tex]-x^2 + 0 - 2 = 0[/tex]

[tex]-x^2 - 2 = 0[/tex]

Hvis b = 0, kan du bruke annengradsformelen for å løse likningen da?

Ble rotete dette, tidlig på morgenen, må få sett lost.