Vektorregning - Parameterframstilling

[teacher85]

Hei.

Har problemer med følgende oppgave:

En linje L går igjennom punktet (1,0,1) i retningen gitt ved vektoren [2,1,3]. Eit plan P inneholder både linja L og punktet (1,1,2)

a) Finn en parameterframstilling for linjen L

b) Begrunn at vektoren [0,1,1] ligg i planet P. Forklar hvorfor parameterframstillingen for planet P kan skrivest på formen
p(s,t) = [1,2t,s+t,1+s+3t]

c) finn også en ligning for planet

d) avgjør om punktet (1,2,1) ligg i planet

e) finn parameterframstilling for skjæringslinjen mellom planet P og planet gitt ved ligningen x+3z=0.


Takknemmelig for all hjelp

[Janhaa]

Hei.
Har problemer med følgende oppgave:
En linje L går igjennom punktet (1,0,1) i retningen gitt ved vektoren [2,1,3]. Eit plan alfa inneholder både linja L og punktet (1,1,2)
a) Finn en parameterframstilling for linjen L
b) Begrunn at vektoren [0,1,1] ligg i planet P. Forklar hvorfor parameterframstillingen for planet P kan skrivest på formen
p(s,t) = [1,2t,s+t,1+s+3t]
c) finn også en ligning for planet
d) avgjør om punktet (1,2,1) ligg i planet
e) finn parameterframstilling for skjæringslinjen mellom planet P og planet gitt ved ligningen x+3z=0.
Takknemmelig for all hjelp

a) er som du skrev på vgs forumet, og er riktig

b)
P = (1, 0, 1) og Q = (1, 1, 2) da blir [tex]\,\,\vec r_1=[0, 1, 1][/tex]

Vel, planet uttrykkes vha 2 retningsvektorer (r vektor) og ett pkt P=(1, 0, 1)

[tex]\vec r_2=[2,1,3]\,\,\,[/tex]oppgitt i oppgava og [tex]\,\,\vec r_1\,\,[/tex]over

c)
for å finne planlikninga må du ha normalvektor til alfa, der den er gitt ved kryssproduktet mellom retningsvektorene:

[tex]\vec n_{\alpha}\,=\,\text \vec r_1 x \vec r_2[/tex]
samt ett pkt P=(1, 0 , 1)

d) dytt (1, 2, 1) inn i planlikninga og sjekk

e)
sikkert flere måter å utføre dette på; sett x = - 3z inn i alfa og gjør noe lurt.

[teacher85]

Jeg skjønner ikke alt du har skrevet Janhaa.

På spørsmål b)
hvordan begrunner du at vektoren (0,1,1) ligger i planet?

Forklarer du hvorfor parameterfremstillingen for planet P kan skrives på formen:
p(s,t) = (1+2t, s+t, 1+s+3t)
Er dette vektor r1 + r2 + Punktet (1,0,1) ??
Dersom vi plusser r1 (t) og r2 (s) med punktet får vi p(s,t).??


På spørsmål c)
Hva blir planligningen? blir det r1 x r2.
Kan det stemme med (2,-2,-2) eventuelt X+Y-Z=0 ?
Hva mener du jeg skal gjøre med punktet?
-2x-2y+2z+2=0 ---> riktig?

På spørsmål d)
Kan gjøres når jeg vet svaret på c)
med den ligningen jeg får på c, konkluderer jeg med at den ikke ligger i planet siden det ikke blir null, men 2. Riktig? eventuelt -2 med den nederste ligningen.

Spørsmål e)
Gjør noe lurt? Skjønner ikke hva som skal gjøres.

Jeg har fått en parameterfremstilling som sier:
(x,y,z) = (1,-1/3,-1/3)+t(-6,8,2) riktig?


Det er en stor oppgave, så jeg er veldig glad for all hjelp som kan dra meg videre... Takk!

[Janhaa]

Jeg skjønner ikke alt du har skrevet Janhaa.
På spørsmål b)
hvordan begrunner du at vektoren (0,1,1) ligger i planet?
Forklarer du hvorfor parameterfremstillingen for planet P kan skrives på formen:
p(s,t) = (1+2t, s+t, 1+s+3t)
Er dette vektor r1 + r2 + Punktet (1,0,1) ??
Dersom vi plusser r1 (t) og r2 (s) med punktet får vi p(s,t).??

Planet alfa (som jeg kaller det) inneholder jo P=(1, 0, 1) og Q = (1, 1, 2) samt retningsvektoren [2, 1, 3].
Og alfa inneholder [tex]\vec {PQ} = [0,1,1]\,\, [/tex]også retningsvektor
Ett hvert plan kan uttrykkes vha av 2 retningsvektorer og ett pkt.
alfa [tex]\,\, [x,y,z]= (1,0,1) + s[0,1,1] + t [2,1,3] [/tex]
dette kalles parameterframstillingen for alfa. Evt
x = 1 + 2t
y = s + t
z = 1 + s + 3t
--------------------------------------------------
husk forøvrig at vi betegner ett pkt som (x, y, z) og en vektor [X, Y, Z]
--------------------------------------------------

På spørsmål c)
Hva blir planligningen? blir det r1 x r2.
Kan det stemme med (2,-2,-2) eventuelt X+Y-Z=0 ?
Hva mener du jeg skal gjøre med punktet?
-2x-2y+2z+2=0 ---> riktig?

for å finne planlikninga trenger du normalvektoren, [tex]\vec n_{\alpha}=[2,2,-2] \,\,[/tex]som er vinkelrett på begge retningsvektorene. Den finner du ved kryssproduktet mellom nevnte retningsvektorer.
Planlikninga di, x + y - z = 0 stemmer.

På spørsmål d)
Kan gjøres når jeg vet svaret på c)
med den ligningen jeg får på c, konkluderer jeg med at den ikke ligger i planet siden det ikke blir null, men 2. Riktig? eventuelt -2 med den nederste ligningen.

det stemmer, pkt ligger ikke i planet.

Spørsmål e)
Gjør noe lurt? Skjønner ikke hva som skal gjøres.
Jeg har fått en parameterfremstilling som sier:
(x,y,z) = (1,-1/3,-1/3)+t(-6,8,2) riktig?
Det er en stor oppgave, så jeg er veldig glad for all hjelp som kan dra meg videre... Takk!

retningsvektoren til skjæringslinja mellom plana er riktig. Men sjekk pkt (1, -1/3, -1/3). Ligger dette pkt i begge plana? du må velge ett pkt som ligger i begge plana, dvs x + y - z = 0 og x = - 3z