Tre punkter på ei linje

[mathme]

Vi har gitt punktene A= (4,7) , B= (14,-3) og C=(t+1,t)

a) Bestem t slik at A, B og C ligger på en rett linje.

[espen180]

Her er det lurt å først gjøre rede for stigningstallet til linja og skjæringspunktet på y-aksen. Bruk disse verdiene til å lage et ligningssett med to ukjente. Løs for x, og du er i mål.

[mathme]

Her er det lurt å først gjøre rede for stigningstallet til linja og skjæringspunktet på y-aksen. Bruk disse verdiene til å lage et ligningssett med to ukjente. Løs for x, og du er i mål.

Stigningstall: -1.
Linja kjærer x aksen i (11,0) !
Linja kjærer y aksen i (0,11) !

Vis meg nå hva du mener med å sette opp to likninger med to ukjente!?


-Dette er en oppgave i vektorregning!

[espen180]

Ja, vi kan redusere dette problemet til et ligningssett med to ukjente.

Vi vet stigningstallet; -1, og vi vet skjæringspunktet i y-aksen; 11.
Det gir oss ligningen [tex]11-x=y[/tex] som er selve "funksjonsuttrykket" til linjen. Videre er vi gitt et punkt [tex](t+1,t)[/tex] altså [tex]x=t+1[/tex] og [tex]y=t[/tex]. Det gir ligningen [tex]x-1=y[/tex].

Nå har vi to ligner, et ligningssett, med to ukjente:
[tex]11-x=y \\ x-1=y[/tex]

Løs, så får du koordinatene til punktet [tex](t+1,t)[/tex].

[mathme]

Ja, vi kan redusere dette problemet til et ligningssett med to ukjente.

Vi vet stigningstallet; -1, og vi vet skjæringspunktet i y-aksen; 11.
Det gir oss ligningen [tex]11-x=y[/tex] som er selve "funksjonsuttrykket" til linjen. Videre er vi gitt et punkt [tex](t+1,t)[/tex] altså [tex]x=t+1[/tex] og [tex]y=t[/tex]. Det gir ligningen [tex]x-1=y[/tex].

Nå har vi to ligner, et ligningssett, med to ukjente:
[tex]11-x=y \\ x-1=y[/tex]

Løs, så får du koordinatene til punktet [tex](t+1,t)[/tex].

Og x=5, fantastisk må jeg si
Takk Espen!!

[mrcreosote]

Litt raskere: Vi finner at linja heter x+y=11 som beskrevet. Siden punktet (t+1,t) skal ligge på linja, må vi ha (t+1)+t=11.

[espen180]

Ingen årsak!

EDIT:

@Mrcreosote:
Den så jeg ikke. Godt observert.

[mathme]

Litt raskere: Vi finner at linja heter x+y=11 som beskrevet. Siden punktet (t+1,t) skal ligge på linja, må vi ha (t+1)+t=11.

En ting jeg ikke forstår her: hvorfor bytter du (t+1,t) til (t+1) +t ?=?

[espen180]

Han benytter at [tex]x=t+1[/tex], og [tex]y=t[/tex], så substituerer han [tex]x[/tex] og [tex]y[/tex] i [tex]x+y=11[/tex], som du får ved å legge til [tex]x[/tex] på begge sider i funksjonsuttrykket [tex]11-x=y[/tex].

[mathme]

Her kommer noe jeg ikke forstår hvorfor blir galt:

Vi velger AB vektor som er [10,-10] og vet at punktet C skal ligge på AB, slik at C || AB ... det gir:

[10,-10] = [t+1,t] => 10= t+1 og -10 = t

Hvorfor blir dette galt?

[mrcreosote]

(t+1,t) er et punkt, ikke en retningsvektor. Du kan finne en retningsvektor for for eksempel BC på samme måte som du fant for AB, ikke la deg skremme av det kommer en t på besøk til alle talla. Dessuten trenger ikke retningsvektorene være like, det holder at den ene er en ikke-null konstant ganger den andre.

[espen180]

Vi kan jo definere grafens x- og y-verdi som en funksjon av tid ved å bruke vektorer?

Vi får [tex]\vec{y}=[0,11-t][/tex] og [tex]\vec{x}=[t,0][/tex].

Hvis vi setter dette inn i en ligning som tilfredsstiller punktet som er gitt i oppgaven, får vi [tex]\vec{x}+1=\vec{y}[/tex], som gir [tex]t+1=11-t[/tex]. Vi løser for [tex]t[/tex] og får [tex]t=5[/tex].

[mathme]

(t+1,t) er et punkt, ikke en retningsvektor. Du kan finne en retningsvektor for for eksempel BC på samme måte som du fant for AB, ikke la deg skremme av det kommer en t på besøk til alle talla. Dessuten trenger ikke retningsvektorene være like, det holder at den ene er en ikke-null konstant ganger den andre.

Vel AC da ?

AB = AC ?

[10,-10] = [(t+1)-4, t-7]

10=(t+1)-4
-10 = t - 7

DET BLIR fortsatt galt, jeg vetikke hvordan jeg skal løse dette vha vektorer!

[mrcreosote]

Som jeg sier, retningsvektorene trenger ikke være like for å peke i samme retning (tenk på [1,2] og [2,4]), det holder at den ene er et skalart multippel av den andre: c[10,-10]=[t-3,t-7]. 2 ligninger med 2 ukjente.

[mathme]

Som jeg sier, retningsvektorene trenger ikke være like for å peke i samme retning (tenk på [1,2] og [2,4]), det holder at den ene er et skalart multippel av den andre: c[10,-10]=[t-3,t-7]. 2 ligninger med 2 ukjente.

Slik at:
10c = t-3
-10c = t-7

t=10c+3

-10c=(10c+3)-7
-20c= -4
c= 4/20
c= 0,2

t= 10*0,2+3 = 5

YES YES YES!!!!
YES YES YES DETTE ER BRA.. hvordan skal jeg takke dere to ??