Hei! Har matematikk eksamen i morgen.. Gidder noen å ta en titt på følgende link?
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/ ... ength.aspx
Vi ser at [tex]\Delta L=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}[/tex]
Så hvordan får man det til å bli [tex]\Delta L=\sqrt{(\frac{dx}{d\theta})^2+(\frac{dy}{d\theta})^2}[/tex]??
Trenger hjelp med å skjønne denne overgangen..
Buelengde med polarkoordinater
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
[tex]x = f(\theta )\cos{\theta}[/tex]
[tex]\frac{dx}{d\theta} = f^,(\theta )\cos{\theta} - f(\theta )\sin{\theta}[/tex]
[tex](\frac{dx}{d\theta})^2 = (f^,(\theta )\cos{\theta} - f(\theta )\sin{\theta})^2 = (f^,(\theta )\cos{\theta})^2 - \sin{2\theta}f(\theta )f^,(\theta) + (f(\theta )\sin{\theta})^2[/tex]
[tex]y = f(\theta )\sin{\theta}[/tex]
[tex](\frac{dy}{d\theta})^2 = (f^,(\theta ))^2\sin^2{\theta} + \sin{2\theta}f^,(\theta )f(\theta ) + (f(\theta ))^2\cos^2{\theta}[/tex]
[tex](\frac{dx}{d\theta})^2+(\frac{dy}{d\theta})^2 = (f^,(\theta )\cos{\theta})^2 - \cancel{\sin{2\theta}f(\theta )f^,(\theta)} + (f(\theta )\sin{\theta})^2 + (f^,(\theta ))^2\sin^2{\theta} + \cancel{\sin{2\theta}f^,(\theta )f(\theta )} + (f(\theta ))^2\cos^2{\theta}[/tex]
[tex](\frac{dx}{d\theta})^2+(\frac{dy}{d\theta})^2 = (f^,(\theta ))^2 + (f(\theta ))^2 = r^2 + (\frac{dr}{d\theta})^2[/tex]
Der har du sammenhengen din.
[tex]\frac{dx}{d\theta} = f^,(\theta )\cos{\theta} - f(\theta )\sin{\theta}[/tex]
[tex](\frac{dx}{d\theta})^2 = (f^,(\theta )\cos{\theta} - f(\theta )\sin{\theta})^2 = (f^,(\theta )\cos{\theta})^2 - \sin{2\theta}f(\theta )f^,(\theta) + (f(\theta )\sin{\theta})^2[/tex]
[tex]y = f(\theta )\sin{\theta}[/tex]
[tex](\frac{dy}{d\theta})^2 = (f^,(\theta ))^2\sin^2{\theta} + \sin{2\theta}f^,(\theta )f(\theta ) + (f(\theta ))^2\cos^2{\theta}[/tex]
[tex](\frac{dx}{d\theta})^2+(\frac{dy}{d\theta})^2 = (f^,(\theta )\cos{\theta})^2 - \cancel{\sin{2\theta}f(\theta )f^,(\theta)} + (f(\theta )\sin{\theta})^2 + (f^,(\theta ))^2\sin^2{\theta} + \cancel{\sin{2\theta}f^,(\theta )f(\theta )} + (f(\theta ))^2\cos^2{\theta}[/tex]
[tex](\frac{dx}{d\theta})^2+(\frac{dy}{d\theta})^2 = (f^,(\theta ))^2 + (f(\theta ))^2 = r^2 + (\frac{dr}{d\theta})^2[/tex]
Der har du sammenhengen din.
Ja det ser jeg.. Men hvordan kan man feks erstatte [tex]\Delta x[/tex] med [tex]\frac{dx}{d\theta}=f`(\theta)sin\theta+f(\theta)cos\theta[/tex]??
Etter min mening er det mer korrekt å gjøre det slik
[tex]\frac{\Delta x}{\Delta y}=x`(\theta)[/tex] når dy går mot 0. Da får vi
[tex]{\Delta x}=x`(\theta)\cdot {\Delta y}=(f`(\theta)sin\theta+f(\theta)cos\theta)\cdot {\Delta y}[/tex]..
Det virker jo intuitivt at hensikten er at man skal summere
[tex]L=lim_{n\rightarrow\infty}\sum^n_{i=1}\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}[/tex]
hvis man skal finne buelengden.. dx^2 + dy^2 = dL^2 ??
Etter min mening er det mer korrekt å gjøre det slik
[tex]\frac{\Delta x}{\Delta y}=x`(\theta)[/tex] når dy går mot 0. Da får vi
[tex]{\Delta x}=x`(\theta)\cdot {\Delta y}=(f`(\theta)sin\theta+f(\theta)cos\theta)\cdot {\Delta y}[/tex]..
Det virker jo intuitivt at hensikten er at man skal summere
[tex]L=lim_{n\rightarrow\infty}\sum^n_{i=1}\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}[/tex]
hvis man skal finne buelengden.. dx^2 + dy^2 = dL^2 ??
Vet ikke om dette kan forklare noe, men så ofte slik notasjon i matte 2.
Riemann-summen din gir egentlig ikke mening.
[tex]\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \sqrt{\Delta x_k^2+\Delta y_k^2} = \int \sqrt{dx^2+dy^2}[/tex]
Men, du er enig i følgende:
[tex]\int \sqrt{dx^2+dy^2} = \int\sqrt{(\frac{dx}{d\theta})^2+\frac{dy}{d\theta})^2}d\theta[/tex] ?
Riemann-summen din gir egentlig ikke mening.
[tex]\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \sqrt{\Delta x_k^2+\Delta y_k^2} = \int \sqrt{dx^2+dy^2}[/tex]
Men, du er enig i følgende:
[tex]\int \sqrt{dx^2+dy^2} = \int\sqrt{(\frac{dx}{d\theta})^2+\frac{dy}{d\theta})^2}d\theta[/tex] ?
Hmm ja.. Men hvordan får man feks at delta y blir plutselig den deriverte av y? Delta y er vel ikke det samme som y derivert?
Hvis vi tegner opp en rett linje, så finner vi jo lengden av linja ved pytagoras, altså delta y^2 + delta x^2...
Hvis vi tegner opp en rett linje, så finner vi jo lengden av linja ved pytagoras, altså delta y^2 + delta x^2...