Delvis integrasjon

[Wentworth]

Oppgave:
[tex]\int x \cdot 2^{x}dx[/tex]

Prøver:
[tex]v(x)=x \; \; \; \; v`(x)=1[/tex]
[tex]u`(x)=2^{x} \; \; \;u(x)=\frac{1}{ln2} \cdot 2^{x}[/tex]

[tex]\int 2^{x} \cdot x dx=(\frac{1}{ln2} \cdot 2^{x}) \cdot x - \int (\frac{1}{ln2} \cdot 2^{x} ) \cdot 1 dx[/tex]

[tex]\int 2^{x} \cdot x dx=(\frac{1}{ln2} \cdot 2^{x}) - 2^{x}[/tex]

Gjør jeg noe feil her?

På forhånd takk!

[Janhaa]

Oppgave:
[tex]\int x \cdot 2^{x}dx[/tex]
Prøver:
[tex]v(x)=x \; \; \; \; v`(x)=1[/tex]
[tex]u`(x)=2^{x} \; \; \;u(x)=\frac{1}{ln2} \cdot 2^{x}[/tex]
[tex]\int 2^{x} \cdot x=(\frac{1}{ln2} \cdot 2^{x}) \cdot x - \int (\frac{1}{ln2} \cdot 2^{x} ) \cdot 1 dx[/tex]
[tex]\int 2^{x} \cdot x=(\frac{1}{ln2} \cdot 2^{x}) - 2^{x}[/tex]
Gjør jeg noe feil her?
På forhånd takk!

JA, flere...

[Wentworth]

I fasiten står det [tex]\frac{xln2-1}{(ln2)^2} \cdot 2^{x} + C[/tex], hvordan får jeg dette til å stemme?

[zell]

Det er vel nettopp det fasiten sier? At det er det som stemmer?

[mepe]

Hei, jeg må være med her, det var første gang jeg prøvte Delvis integrasjon... og var faktisk litt morsomt!!

Så vidt jeg kan se så er alt korrekt til og med denne linje

[tex]\int2^x\cdot x\cdot dx =(\frac{1}{ln2})\cdot 2^x \cdot x -\int(\frac{1}{ln2}\cdot 2^x)\cdot 1 dx[/tex]
når du opløser [tex]\int[/tex] i siste led, går det galt!
jeg opløser det i 2 step.. først trekker jeg konstanten ut foran[tex] \int[/tex]
[tex]\int2^x\cdot dx =(\frac{1}{ln2})\cdot 2^x \cdot x - \frac{1}{ln2}\int 2^x dx[/tex]

så er det lettere at integrere

[tex]\int2^x\cdot dx =(\frac{1}{ln2})\cdot 2^x \cdot x - \frac{1}{ln2}\cdot \frac{1}{ln2}\cdot 2^x+C [/tex]

for at få dem på felles brøk, ganger jeg første led med [tex]\frac{ln2}{ln2}[/tex]

og får så:

[tex]\int2^x\cdot dx =\frac{ln2}{ln2}\cdot (\frac{1}{ln2})\cdot 2^x \cdot x - \frac{1}{ln2}\cdot \frac{1}{ln2}\cdot 2^x+C[/tex]

[tex]\int2^x\cdot dx = \frac{ln2 \cdot 2^x \cdot x - 2^x}{(ln2)^2}+C[/tex]

så faktoriserer jeg uttrykket og får:
[tex]\int2^x\cdot dx = 2^x \cdot\frac{(x \cdot ln2 -1)}{(ln2)^2} +C[/tex]

[Wentworth]

Glemte visst å sette konstanten utenfor integranden.