Page 1 of 1

Delvis integrasjon

Posted: 10/07-2008 20:09
by Wentworth
Oppgave:
[tex]\int x \cdot 2^{x}dx[/tex]

Prøver:
[tex]v(x)=x \; \; \; \; v`(x)=1[/tex]
[tex]u`(x)=2^{x} \; \; \;u(x)=\frac{1}{ln2} \cdot 2^{x}[/tex]

[tex]\int 2^{x} \cdot x dx=(\frac{1}{ln2} \cdot 2^{x}) \cdot x - \int (\frac{1}{ln2} \cdot 2^{x} ) \cdot 1 dx[/tex]

[tex]\int 2^{x} \cdot x dx=(\frac{1}{ln2} \cdot 2^{x}) - 2^{x}[/tex]

Gjør jeg noe feil her?

På forhånd takk!

Re: Delvis integrasjon

Posted: 10/07-2008 20:24
by Janhaa
Wentworth wrote:Oppgave:
[tex]\int x \cdot 2^{x}dx[/tex]
Prøver:
[tex]v(x)=x \; \; \; \; v`(x)=1[/tex]
[tex]u`(x)=2^{x} \; \; \;u(x)=\frac{1}{ln2} \cdot 2^{x}[/tex]
[tex]\int 2^{x} \cdot x=(\frac{1}{ln2} \cdot 2^{x}) \cdot x - \int (\frac{1}{ln2} \cdot 2^{x} ) \cdot 1 dx[/tex]
[tex]\int 2^{x} \cdot x=(\frac{1}{ln2} \cdot 2^{x}) - 2^{x}[/tex]
Gjør jeg noe feil her?
På forhånd takk!
JA, flere... :wink:

Posted: 10/07-2008 21:09
by Wentworth
I fasiten står det [tex]\frac{xln2-1}{(ln2)^2} \cdot 2^{x} + C[/tex], hvordan får jeg dette til å stemme?

Posted: 10/07-2008 21:48
by zell
Det er vel nettopp det fasiten sier? At det er det som stemmer?

Posted: 10/07-2008 22:08
by mepe
Hei, jeg må være med her, det var første gang jeg prøvte Delvis integrasjon... og var faktisk litt morsomt!!

Så vidt jeg kan se så er alt korrekt til og med denne linje

[tex]\int2^x\cdot x\cdot dx =(\frac{1}{ln2})\cdot 2^x \cdot x -\int(\frac{1}{ln2}\cdot 2^x)\cdot 1 dx[/tex]
når du opløser [tex]\int[/tex] i siste led, går det galt!
jeg opløser det i 2 step.. først trekker jeg konstanten ut foran[tex] \int[/tex]
[tex]\int2^x\cdot dx =(\frac{1}{ln2})\cdot 2^x \cdot x - \frac{1}{ln2}\int 2^x dx[/tex]

så er det lettere at integrere

[tex]\int2^x\cdot dx =(\frac{1}{ln2})\cdot 2^x \cdot x - \frac{1}{ln2}\cdot \frac{1}{ln2}\cdot 2^x+C [/tex]

for at få dem på felles brøk, ganger jeg første led med [tex]\frac{ln2}{ln2}[/tex]

og får så:

[tex]\int2^x\cdot dx =\frac{ln2}{ln2}\cdot (\frac{1}{ln2})\cdot 2^x \cdot x - \frac{1}{ln2}\cdot \frac{1}{ln2}\cdot 2^x+C[/tex]

[tex]\int2^x\cdot dx = \frac{ln2 \cdot 2^x \cdot x - 2^x}{(ln2)^2}+C[/tex]

så faktoriserer jeg uttrykket og får:
[tex]\int2^x\cdot dx = 2^x \cdot\frac{(x \cdot ln2 -1)}{(ln2)^2} +C[/tex]

Posted: 10/07-2008 22:08
by Wentworth
Glemte visst å sette konstanten utenfor integranden. :P :D