g! r! a! f!

[gill]

Funksjonene f er gitt ved
[tex] f(x)=x^3+6x^2\, \\ \, D_f=[-7,2] [/tex]

a)tegn grafen til f
b)finn nullpunktene til f
c)finn toppunktet og bunnpunktet til f
d)finn verdimengden til f




I fasiten står det at toppunktet er (-4,32) og bunnpunktet er (0,0)

Men grafen går fra og med x=-7 til 2. Burde ikke da bunnpunktet være
(-7,-49) og det være to toppunkter (-4,32) og (2,32)?

De har definert verdimengden,[tex] V_f [/tex], i fasiten til å være mellom [-49,32] og

[Emilga]

Med toppunkt og bunnpunkt mener vi egentlig "lokalt toppunkt" eller "lokalt bunnpunkt." Det betyr at et punkt på grafen er ett toppunkt hvis det har høyere y-verdi enn de nærmeste punktene på høyre og venstre side.
Det samme gjelder bunnpunkt. Et punkt på grafen er ett bunnpunkt hvis, og bare hvis det punktet har en lavere y-verdi enn de nærmeste punktene på høyre og venstre side.

Derfor ville ikke (-7, -49) være et bunnpunkt. Hvis du hadde tegnet grafen med større definisjonsmengde ville du funnet at punktet på grafen på venstre side av (-7, -49) har lavere y-verdi enn (-7, -49), og da er det ikke ett "lokalt bunnpunkt."

Kan du da forklare meg hvorfor (2, 32) ikke er et toppunkt?

[gill]

Takk og her på denne grafen er det ikke flere bunnpunkt uansett definisjonsmengde fordi y-verdien blir bare mindre des lavere x er enn -7 og ingen flere toppunkt uansett definisjonsmengde fordi y-verdien blir og bare høyere des høyere x-verdien blir enn 2.


(2,32) er ikke et toppunkt med denne definisjonsmengden fordi verdien til y ikke går nedover på begge sider av punktet Her er jo verdien til y ukjent på høyre side derfor kan vi ikke si at det er et toppunkt uansett.

[MatteNoob]

Funksjonene f er gitt ved
[tex] f(x)=x^3+6x^2\, \\ \, D_f=[-7,2] [/tex]

c)finn toppunktet og bunnpunktet til f
d)finn verdimengden til f

c)
[tex]f\prime(x) = 3x^2 + 12x \\ \, \\ f\prime(x) = 0 \\ \, \\ 3x^2 + 12x = 0 \\ \, \\ x_1 = 0 \,\,\, x_2 = -4[/tex]

Så der har du begge x-verdiene og

[tex]f(0) = 0 \\ \, \\ f(-4)=(-4)^3 + 6(-4)^2 = -64 + 96 = \underline{32}[/tex]

Dermed har vi funnet ekstremalpunktene [tex]\rm{P_1} = \left(0,\, 0\right) \, \rm{og}\, \rm{P_2} = \left(-4,\, 32\right)[/tex]

d)
Siden du har fått opplyst definisjonsmengden [tex]D_f[/tex], så er det lett å finne verdimengden [tex]V_f[/tex]. Slik ville jeg gått frem:

Sjekk om verdiene i ytterpunktene for [tex]D_f[/tex] (henholdsvis -7 og 2) har mer "ekstreme" verdier enn eventuelle topp- og bunnpunker i definisjonsintervallet.

[tex]f(-7) = -49 \\ \, \\ f(2) = 32[/tex]

Fra dette ser vi at f(2) har samme verdi som topp-punktet. Videre ser vi at bunnpunktet (0, 0) ligger høyere enn f(-7). Da kan vi konkludere med at:

[tex]V_f=\left[-49,\, 32\right][/tex]

PS: Istedenfor å tegne grafene for hånd, synes jeg det er ca 1000 ganger bedre å bruke Geogebra. Da plotter man bare inn funksjonsuttrykket, så får man se grafen.

Jeg skjønner at det kan være pedagogisk korrekt å tegne grafer, men du som er ferdig med 3MX har helt sikkert tegnet en god del grafer allerede, så da er det lov til å "jukse" litt synes jeg :]

[MatteNoob]

Her er en liknende oppgave jeg har laget til deg. Du trenger selvfølgelig ikke gjøre den, dersom du ikke føler at du trenger det.

Uansett:

[tex]g(x) = 0.6x^3 + 5x^2 -5x + 5 \,\,\,\,\,\,\,\, x\in\left[-10,\, \rightarrow\rangle[/tex]

a) Finn ekstremalpunktene til g(x). Hvilken vei vender den hule siden? Kommenter svaret.

b) Finn eventuelle vendepunkter på g(x).

c) Bestem [tex]V_g[/tex]

[gill]

Her er en liknende oppgave jeg har laget til deg. Du trenger selvfølgelig ikke gjøre den, dersom du ikke føler at du trenger det.

Uansett:

[tex]g(x) = 0.6x^3 + 5x^2 -5x + 5 \,\,\,\,\,\,\,\, x\in\left[-10,\, \rightarrow\rangle[/tex]

a) Finn ekstremalpunktene til g(x). Hvilken vei vender den hule siden? Kommenter svaret.

b) Finn eventuelle vendepunkter på g(x).

c) Bestem [tex]V_g[/tex]

Selvfølgelig gjør jeg en opppgave som er skrevet til meg. Mattenoob the mathematichal lifesaver

a)
[tex]g\prime(x)=1,8x^2+10x-5[/tex]

[tex]1,8x^2+10x-5=0[/tex]

[tex]x=\frac{-10\pm\sqrt{100-4\cdot1,8\cdot(-5)}}{2\cdot1,8}\, \\ \, x=0,44 \,\,\,\wedge\,\,\,x=-6[/tex]

Jeg prøvde å bruke GeoGebra men kom ingen vei med å skrive inn funksjonen. Og med kalkulatoren ser man jo ikke stort av funksjonen på skjermen. Derfor måtte jeg regne ut hva som var topp og bunnpunktene.

g(-6)=-129,6+180+30+5=85,4

g(0,44)=0,05112+0,8-2+5=3,85

ergo er

(-6,85,4) toppunkt

(0,44,3,85) bunnpunkt

Men hvilken vei vender den hule siden? Her kom jeg ikke fram til noe svar fordi jeg ville ha sagt at den hule siden på høyre og venstre siden av g(-6) vender ned og den hule siden på hver side av g(0,44) vender opp

b)

[tex]g\prime\prime(x)=3,6x+10 [/tex]

[tex]g\prime\prime(x)=0 [/tex]

[tex]3,6x+10=0\, \\ \, x=\frac{-10}{3,6}\, \\ \, x=-2,78 [/tex]

g(-2,78)=-12,89+38,642+13,9+5=44,65

Vendepunktet er (-2,78,44,65)

c) Ser hva verdien for y når x=-10

g(-10)=-45

Dette er det lave ytterpunktet til verdimengden

Siden det høye ytterpunktet er definert som uendelig og funksjonene bare får høyere verdi etter x=0,44 vil den høyeste verdimengden til grafen være uendelig.

[tex]V_g=[-45,\infty][/tex]

[MatteNoob]

Ja, dette så bra ut Gill. Virker som om du har forstått greia med verdi- og definisjonsmengde, hvordan du bruker den deriverte for å finne ekstremalpunktene og ikke minst hvordan du finner ut om det er et bunn- eller toppunkt du har funnet.

Dette var forøvrig det jeg mente med "hul side":


For å tegne en graf (feks denne) i geogebra, skriver du bare inn:

0.6x^3 + 5x^2 - 5x + 5

Prøv deg litt frem med andre ting også, det er det virkelig verdt :]

[gill]

Snedig tegning!

Hmmmm....... ..............jeg prøver å skrive inn funksjonene i kommandofeltet nederst i GeoGebra men får bare svar om at jeg satte inn noe ugyldig når jeg trykker på enter?

[MatteNoob]

Snedig tegning!

Hmmmm....... ..............jeg prøver å skrive inn funksjonene i kommandofeltet nederst i GeoGebra men får bare svar om at jeg satte inn noe ugyldig når jeg trykker på enter?

Sikkert fordi du bruker komma fremfor punktum når du skriver inn 0.6

[gill]

point taken