Vektorer i rommet og sånt

[FredrikM]

Tenker jeg kan gjøre noe à la det Noob gjør, altså å legge ut noen oppgaver jeg løser, osv. Spør om hjelp i samme tråd.

Oppgave B229
Punktene A(6,2,3), B(8,3,4) og C(-1,2,5) er gitt. Punktet E ligger på gjennom A og B.
a) Forklar at vi da kan skrive E(6+2t,2+t,3+t).
b) Hva blir koordiinatene til E dersom CE er vinkelrett på AB?
c) Hva blir avtanden fra C til linjen gjennom A og B?

a)
Skriver først opp [tex]\vec{AB}=[2,1,1][/tex]. Punktet E ligger bestandig på denne linjen, og den går gjennom A. Derfor kan E skrives som E(6+2t,2+t,3+t).

b)
Her blir det verre for meg. Det jeg forsøkte på når jeg prøvde å løse denne, var å sette opp [tex]| \vec{AC}|[/tex]:
[tex]| \vec{AC}| = \sqrt { 6t^2+16t+29}[/tex]
Jeg prøvde så å derivere denne avstanden, for så å finne ut når avstanden var minst. Da mente jeg at jeg burde ha [tex]\vec{AC}[/tex] vinkelrett på [tex]\vec{AB}[/tex].

Men jeg får feil svar. Noen som kan hjelpe/komme med hint? Matteboken jeg bruker er ikke så veldig god på dette med vektorer - har lest i bedre mattebøker for å si det slik.

c)
Intuitivt tenker jeg med en gang at jeg burde bruke samme framgangsmåte som over, men jeg antar at det ikke vil føre fram. Hadde dette vært todimensjonalt system kunne jeg jo lett brukt vektorproduktet, men det er det jo ikke. Hint?

[Karl_Erik]

Om linjen CE skal stå vinkelrett på linjen AB vet du jo hva skalarproduktet av AB og CE er, gjør du ikke?

[FredrikM]

Gjelder dette også for vektorer i rommet?

[Emilga]

Ja.

[FredrikM]

Argh. Kan noen kritisere framgangsmåten min eller fasiten eller gudoghvermann?:

Setter først opp et uttrykk for vektoren [tex]\vec{CE}[/tex]:

[tex]\vec{CE}=[5+2t,t,t-2][/tex]

Setter opp uttrykk for skalarproduktet:

[tex][5+2t,t,t-2] \cdot [2,1,1] = 0 \\ 6t+8=0 \\ t= \frac{-4}{3}[/tex]
Setter inn i E:
[tex]E(\frac{10}{3},\frac{2}{3},\frac{5}{3})[/tex]
Og dette er i følge fasiten feil. Er forresten det eksakt samme svaret som jeg fikk når jeg prøvde meg på derivasjonsframgangsmåten. Fasiten påstår det riktige svaret skal være E(2,0,1)

[MatteNoob]

Flott initiativ, FredrikM. Jeg skal snart begynne med "Vektorer i rommet" og "Vektorfunksjoner" selv, da blir det garantert lærerikt å se hva du bedriver i denne tråden :]

Kjekt å ha "arbeidet" sitt her også, da kan man finne frem til det enklere og dessuten blir man veldig stødig i LaTeX

[FredrikM]

Oppgave B 230
Punktene A(3,2,1), B(6,4,3) og C(2,t,3t+1) er gitt. Hva må t være dersom arealet av trekanten ABC skal bli 5?

Vi vet at vi ved hjelp av vektorproduktet lett kan finne arealet av en trekant, og vi har formelen
[tex]A=\frac 12 |\vec{q} \times \vec {p} |[/tex]

For å bruke denne formelen trenger vi først å finne [tex]\vec{AB} [/tex] og [tex]\vec{AC}[/tex]:

[tex]\vec{AB}=[3,2,2] \\ \vec{AC}=[-1,t-2,3t][/tex]

Vektorproduktet er definert som:
[tex]\vec{p} \times \vec{q} = [p_2 q_3 - p_3 q_2, p_3 q_1 - p_1 q_3, p_1 q_2 - p_2 q_1] \\ \vec{AB} \times \vec{AC} = [4t+4,-9t-2,3t-5][/tex]

Vi kombinerer så disse to funnene
[tex]A=\frac 12 |[4t+4,-9t-2,3t-5]|[/tex]
A skal være lik 5. Vi ganger med to på begge sider:
[tex]10=|[4t+4,-9t-2,3t-5]| = \sqrt { 16(t+1)^2+81t^2+36t+4+9t^2-24t+16 }[/tex]
Opphøyer begge sider i to og rydder opp.
[tex]16(t+1)^2+81t^2+36t+4+9t^2-24t+16=100 \\ 106t^2+44t-64=0[/tex]
Noe som gir
[tex]t \approx 0,60[/tex] [tex]eller -1,01[/tex]

Dette fører altså til at
[tex]C(2, 0.60, 2.8)[/tex] eller [tex] C(2,-1.01,-2.03)[/tex]

[FredrikM]

Så er det en oppgave jeg sliter med:

Oppgave B231

Vi tenker oss et tredimensjonalt koordinatsystem lagt inn i terrenget der koordinatene er i meter. Punktene A(6,4,1), B(5,3,-1) og C(7,5,0) er gitt. En stang med lengde 6 m skal stå vinkelrett på planet gjennom A, B, C.

a) Hvordan blir stangen stående? (Bestem retningsvektoren for stangen)

b) Hva blir koordinatene til toppen på stangen dersom den skal stå i origo?

Her sliter jeg med a.

Det jeg tenker på som løsningsmetode, er rett og slett vektorproduktet. Jeg regner ut vektorproduktet for [tex]\vec{AB} \times \vec{AC}[/tex]. Dette gir dog feil svar i følge fasiten.

Tips?

[Mayhassen]

Det skal jo være riktig det, sikker på at du har holdt tunga rett i munn når du har krysset vektorene?
Kanskje det er oppgitt en annen lengde i fasit? En retningsvektor er jo ikke avhengig av lengden sin.

[FredrikM]

Fasiten svar [1,-1,0]

Mitt svar er [-1,-3,2]

De er vel ikke akkurat parallelle?

[Janhaa]

Fasiten svar [1,-1,0]
Mitt svar er [-1,-3,2]
De er vel ikke akkurat parallelle?

du har regna feil, fordi

[tex]\vec n= \vec {AB}\times \vec {AC} = [3,\,-3,\,0]=3[1,\,-1,\,0][/tex]

[FredrikM]

Hele feilen lå i at jeg regnet ut [tex]\vec{AC}[/tex] feil.

Viser da løsningsmetoden min:

[tex]\vec{AB}=[-1,-1,-2] \,\, \, \, \, \vec{AC}=[1,1,-1] \\ \vec{AB} \times \vec{AC}= [(-1)(-1) - ((-2)(-1)), (-2)(1)-((-2)(1)), (1-)(1)-((-1)(1))] = [3,-3,0] = 3 \cdot [1,-1,0][/tex]

Retningsvektoren er altså [1,-1,0].

b)

b) Hva blir koordinatene til toppen på stangen dersom den skal stå i origo?

Nå når jeg vet retningsvektoren, gjøres dette ved å sette
[tex]\vec{s} = c[1-1,0] \\ \vec{s}=[l,-l,0][/tex]

Lengden skal være 6:
[tex]| \vec{s} | = 6 = \sqrt{2c^2} = \sqrt{2} c \\ c= \frac{6}{\sqrt{2}} = 6 \ cdot \frac {1}{ \sqrt{2}} = 6 \cdot \frac{ \sqrt{2}}{2}=3 \sqrt{2}[/tex]

Dette gir altså
[tex]\vec{s}=[3\sqrt{2},-3\sqrt{2},0] \\ S(3\sqrt{2},-3\sqrt{2},0)[/tex]
Hvor s er koordinatene om stangen er plassert i origo.

[FredrikM]

To linjer er gitt ved
[tex]l: \left[ x=3+t \\ y= t \\ z= 1-t \right] \, \, \, \, \, \, s: \left[ x=-4+s \\ y= 1+s \\ z= s \right] [/tex]

a) Finn vinkelen mellom l og z-aksen.
b) Finn vinkelen mellom linjene.

a) Finner retningsvektorer for z-aksen og for linjen l:
[tex]\vec{z} = [0,0,1] \,\, \, \, \vec{l} = [1,1,-1][/tex]

Jeg gjorde nå ting litt vanskeligere enn de strengt tatt trengte å være, så jeg brukte følgende formel (mye enklere med skalarproduktet):
[tex]sin(v_1) = \frac {|\vec{z} \times \vec{l}|}{|\vec{z}| \cdot |\vec{l}|}= \frac { |[1,-1,0] } {\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}} \\ arcsin(\sqrt{\frac{2}{3}}) \approx 54,74\textdegree[/tex]

b)

Finner en retningsvektor for s:
[tex]\vec{s} = [1,1,1][/tex]

Bruker samme metode igjen.

[tex]sin(v_2)=\frac {|\vec{r_l} \times \vec{r_s}|}{|\vec{r_l}| \cdot |\vec{r_s}|}=\frac {2\sqrt{2}}{3} \\ arcsin (\frac {2\sqrt{2}}{3}) \approx 70,55 \textdegree [/tex]

Tada.