Likningen som fikk meg til å gråte

[MatteNoob]

Denne likningen driver meg til vannvidd, jeg kan ikke skjønne hvorfor den skal være så vanskelig å løse.

Kan noen hjelpe meg å få ro i sjela igjen? - Jeg drømte om den da jeg sov!!

[tex]3\sin(2x)-4\cos(2x)=-2[/tex]

Alle mulige løsninger. Setter pris på hjelp :]

[FredrikM]

Hint 1:

[tex]3sin (2x)-4cos(2x)=5sin(2x+ \phi ) \\ \phi = arctan(\frac {-4}{3})[/tex]

[MatteNoob]

Har brukt det, jeg har løst skrevet den om og løst den på mange forskjellige måter, men ender opp med feil svar.

Kan du løse den, så jeg ser hva du kommer frem til?

[mrcreosote]

Her er en annen metode du kan prøve:

Legg til 4cos(2x) på begge sider og kvadrer. Bruk enhetsformelen 9 ganger. Nå har du en annengradsligning i cos(2x).

[FredrikM]

kk.

[tex]3sin(2x)-4cos(2x)=-2 \\ 5sin(2x+ \phi ) = -2 \\ \phi = arctan(\frac{-4}{3})=-0,9273 \\ 5sin(2x-0,9273)=-2 \\ sin(2x-0,9273)=\frac{-2}{5} \\ arcsin(\frac{-2}{5}) = 2x-0,9273 = -0,4115 + 2 \pi n \, \, \vee \, \, 3,553+2 \pi n \\ 2x = 0,5158 + 2 \pi n \, \, \vee \, \, 4,4803 + 2 \pi n \\ x= 0,2579 + \pi n \, \, \vee \, \, 2,240 + \pi n[/tex]

Noe som stemmer.

[MatteNoob]

Hei

Grunnen til at jeg ikke viser hva jeg har gjort, er fordi det blir mye for folk å lese, og da gidder de kanskje ikke svare meg...

Jeg hadde virkelig satt pris på om noen kunne løse hele sulamitten, slik at jeg ser om dere kommer frem til det samme som meg.

Hvis dere vil se hva jeg har gjort; her er det:
[tex]\phi = 2\pi + \arctan (\frac{-4}{3}) \;\;\;\text{\phi er i 4 kvadrant} \\ \, \\ \phi \approx 5.356[/tex]

[tex]\rm{A} = \sqrt{3^2+(-4)^2} = 5[/tex]

[tex]5\sin\left(2x+5.356\right)=-2 \\ \, \\ 2x+5.356 = \arcsin(\frac{-2}{5}) \\ \, \\ 2x + 5.356 = -0.411[/tex]

-0.411 er en vinkel i 3 og en vinkel i 4 kvadrant:

[tex]2x = \underbrace{\left(\pi + 0.411\right)}_{\text{3 kvadrant}} - 5.356 + 2k\pi \;\;\;\vee\;\;\; 2x = \underbrace{\left(2\pi-0.411\right)}_{\text{4 kvadrant}}-5.356 + 2k\pi \\ \, \\ x = -0.917+k\pi \;\;\;\vee\;\;\; \underline{\underline{x = 0.258+k\pi}}\;\;\;\; k\in \mathbb{Z}[/tex]

Svaret med to streker under er korrekt, men jeg finner ikke det andre svaret. Svaret for x, uten to streker under er nemlig feil.............

[MatteNoob]

Takk skal du ha, Fredrik, og nå følger spørsmålene.

[tex]\phi = \arctan(\frac{-4}{3})=-0,9273[/tex]

Hvorfor skriver du ikke om [tex]\phi[/tex] til å ligge i 4 kvadrant? Det gjør de i boken min.

[tex]2x-0.9273 = \arcsin(\frac{-2}{5}) \\ \, \\ \underbrace{2x-0.9273 = -0.4115 +2\pi \rm{n}}_{\text{du skriver ikke om vinkelen}} \;\;\vee\;\; \underbrace{2x-0.9273 =3.553+2\pi\rm{n}}_{\text{du skriver om vinkelen}}[/tex]

Hvorfor skriver du kun om "høyresiden" og ikke venstresiden?

-0.411 er vel vinkler i 3 og 4 kvadrant, henholdsvis:
[tex]\pi + 0.411 = 3.553 \;\;\vee\;\; 2\pi - 0.411 = 5.872[/tex]

Hvordan vet du når du skal skrive om disse og når du ikke skal skrive dem om? Det er dette som gjør meg ufattelig frustrert.

[FredrikM]

Oj. Tenkte jeg ikke på en gang. Skrev bare rett av kalkulatoren (så mulig det var tilfeldigheter som avgjorde at jeg fikk rett).

[MatteNoob]

Ok, Fredrik, det var dumt, men fint at du innrømmer det. Det er første steget på veien til forståelse, hehe.

Jeg har virkelig lyst til å bruke et kraftuttrykk her nå, for å illustrere hvor sint og frustrert jeg er. - Sørenpokker!!!

Håper noen kan komme med gode forklaringer på dette, eller henvise meg til steder som forklarer hvordan man går frem for å få riktig når man regner ut disse trigonometriske duttebassene.

Hva er "harmonisk svingning" på engelsk? Har lett, men ei funnet noe om dette temaet rundt på interwebben.

[ettam]

EDIT: Det som stod her var ikke feil, men noe forvirrende derfor fjernet jeg det. Da blir det lettere for andre å lese tråden.

Se heller to innlegg lengere nede påp siden...

[ettam]

Hva er "harmonisk svingning" på engelsk? Har lett, men ei funnet noe om dette temaet rundt på interwebben.

'harmonic oscillation'


"interwebben" --- stilig uttrykk!!

[ettam]

Jeg har regnet oppgaven:

[tex]3\sin(2x)-4\cos(2x) = -2[/tex]

[tex]5 sin (2x + \phi)) = -2 \;\;[/tex] der [tex]\;tan (\frac{\phi}{2}) = -\frac43\;\;[/tex] og [tex] \phi[/tex] skal ligge i 4. kvadrant

[tex]5 sin (2x + 5,356) = -2[/tex]

[tex]sin (2x + 5,356) = -\frac25[/tex]

[tex]2x + 5,356 = 2\pi -0,412 + n2\pi \; \vee \; 2x + 5,356 = \pi + 0,412 + n2\pi[/tex]

[tex]x = 0,258 + n\pi \; \vee \; x = -0,901 + n\pi[/tex]

Det kan være greit at den siste løsningen også er i første omløp for [tex]n=0[/tex], derfor legger vi til [tex]\pi[/tex] i denne løsningen og får:

[tex]\underline{\underline{x = 0,258 + n\pi \; \vee \; x = 2,241 + n\pi}}[/tex]

Som er det samme svaret som FredrikM fikk

[MatteNoob]

Det du gjør mhp phi, gjør de ikke i noe av litteraturen jeg har. Det står simpelten at man skal finne phi ved å sette:

[tex]\phi = \arctan{\frac ba}[/tex] og at phi skal være i samme kvadrant som punktet (a, b)

Problemene jeg har med disse likningene, er at jeg ikke vet når jeg skal "beholde" en negativ verdi for phi eller om jeg skal formen den om, slik at den er positiv.

Videre er problemet at jeg ikke vet om jeg skal forme om svaret mitt dersom jeg får en negativ løsning for den opprinnelige likningen.

La meg illustrere hva jeg mener.

[tex]\tan(\phi) = \frac{-4}{3}[/tex] punktet er i 4 kvadrant. (3, -4)

[tex]\phi \approx -0.927[/tex]

Nå kan jeg velge å beholde den negative verdien for phi, eller sette:

[tex]\phi = -0.927+ 2\pi \approx 5.356[/tex]

Så da kommer valgalternativene:
1. [tex]5\sin(2x+5.356) = -2[/tex]

2. [tex]5\sin(2x-0.927) = -2[/tex]

Etter det kan jeg for enkelhetsskyld sette:
[tex]u = 2x+\phi[/tex]

[tex]5\sin u = - 2 \\ \, \\ u = \arcsin(\frac{-2}{5}) \approx -0.411[/tex]

Det er nå jeg ikke skjønner et plukk, for hva skal jeg gjøre med denne verdien nå?

-0.411 er jo en vinkel i 3 kvadrant og en i 4 kvadrant...

Dersom jeg setter vinklene til:
[tex]u_1 = \pi + 0.411 = 3.55 \\ \, \\ u_2 = 2\pi - 0.411 = 5.87[/tex]

Deretter kommer problemet med hvordan jeg løste for phi, altså: Om jeg valgte
1. [tex]5\sin(2x+5.356) = -2[/tex]

2. [tex]5\sin(2x-0.927) = -2[/tex]

1 eller 2 til å begynne med... Det er dette som driver meg til vannvidd, jeg forstår ikke hvordan tingene henger sammen, fordi det blir så mye forskjellige ting å holde styr på.

[Heppet]

1 eller 2 til å begynne med... Det er dette som driver meg til vannvidd, jeg forstår ikke hvordan tingene henger sammen, fordi det blir så mye forskjellige ting å holde styr på.

Det har ingen betydning. Begge svarene vil bli riktig (selv om det ikke nødvendigvis vil "stemme" med fasit).

[MatteNoob]

Hjertlig takk til alle sammen altså, dere aner ikke hvor frustrert jeg har vært pga dette her. Det var rett før 3MX boka ble degradert til toalettpapir liksom, hehehe.

Okey, så for å se om jeg har forstått dette riktig.

Det er lettest å:
1. Gjøre om phi til en vinkel med positiv verdi for kvadranten den er i.

2. Når du har løst for vinkelen på høyresiden, men ikke for variabelen, er det lurt å gjøre om vinklene til positive verdier.

3. Etter å ha trukket fra phi og delt på konstanten foran vinkelen x, ser du om begge svarene ligger i intervallet [tex][0,\, 2\pi\rangle[/tex] - hvis ikke, legg til eller trekk fra det som er igjen av [tex]2k\pi[/tex] (etter man har delt på konstanten foran variabelen) for å få begge svarene inn i samme omløp for [tex]k = 0[/tex]

Skulle dette stemme? Og en ting til. Det er rart at de kun konsentrerer seg om å omskrive [tex]a\sin x + b\cos x = c[/tex] til en funksjon av sinus, men ikke cosinus. Noen som vet hvorfor? Er det pga lavpannede mennesker som meg som ikke skjønner bæret av dette? hehehe