Finn en annengradsfunksjon som har bunnpunktet (2,-4)
og
Finn en annengradsfunksjon som har toppunktet (3,6)
annengradsfunksjon
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
En generell annengradsfunksjon har som du sikkert vet formen f(x) = ax^2 + bx + c, hvor a, b og c er reelle tall. Hva vil det si at en funksjon har et bunnpunkt? Jo, den deriverte i punktet må være lik null. Og a må være positiv (finn ut hvorfor selv!). Prøv å bruke det første kriteriet til å sette opp en sammenheng mellom a og b, og velg så a, b og c slik at denne sammenhengen og a > 0 tilfredstilles. Så er du i mål.
a må være positiv for at den hule siden til grafen skal vende ned og vi har et bunpunkt. Det vet jeg!
Siden andregradsfunksjoner av en eller annen grunn som jeg ikke skjønner alltid er formlike vil bunnpunktet ligge midt imellom de to verdiene til funksjonene son er lik c.
Siden den deriverte av en annegradsfunksjon blir
[tex]2a\,+\,b[/tex] må a ha dobbelt så stor verdi som opprinnelig og blir derfor alltid et partall.
[tex]x^2-4x[/tex] fungerer uten at jeg skjønner hvorfor.
Siden andregradsfunksjoner av en eller annen grunn som jeg ikke skjønner alltid er formlike vil bunnpunktet ligge midt imellom de to verdiene til funksjonene son er lik c.
Siden den deriverte av en annegradsfunksjon blir
[tex]2a\,+\,b[/tex] må a ha dobbelt så stor verdi som opprinnelig og blir derfor alltid et partall.
[tex]x^2-4x[/tex] fungerer uten at jeg skjønner hvorfor.
ærbødigst Gill
Ikke gi deg før du skjønner det, dette er grunnleggende. Uttrykket for den deriverte til en generell 2. grads funksjon blir f'(x) = 2ax + b. I alle topp/bunnpunkt må f'(x) = 0 (generelt sett finnes unntak; hvis funksjonen defineres på et lukket interval, vil endene på intervallet kunne være topp eller bunnpunkt uten at den deriverte er null, men dette gjelder ikke her). Men du vet x = 2 skal være et bunnpunkt, altså har du at f'(2) = 2a*2 + b = 4a + b = 0. Men ikke glem at du også vet at funksjonsverdien skal være -4 i dette punktet, altså har du at f(2) = a*2^2 + b*2 + c = 4a + 2b + c = -4. Du har altså følgende sammenhenger:
4a + b = 0
4a + 2b + c = -4
a > 0
Det finnes uendelig mange løsninger her, bare finn en. F.eks. gir første likningen oss at b = -4a, sett dette inn i andre likningen:
4a + 2(-4a) + c = -4a + c = -4
Dette gir at a = 1 + c/4. Nå kan du velge c fritt, bare sørg for at a blir positiv. Ta f.eks. c = 4, så blir a = 2, og b = -4a = -8, som gir funksjonen:
f(x) = 2x^2 -8x + 4
Denne tilfredstiller kravene. Forstår du?
4a + b = 0
4a + 2b + c = -4
a > 0
Det finnes uendelig mange løsninger her, bare finn en. F.eks. gir første likningen oss at b = -4a, sett dette inn i andre likningen:
4a + 2(-4a) + c = -4a + c = -4
Dette gir at a = 1 + c/4. Nå kan du velge c fritt, bare sørg for at a blir positiv. Ta f.eks. c = 4, så blir a = 2, og b = -4a = -8, som gir funksjonen:
f(x) = 2x^2 -8x + 4
Denne tilfredstiller kravene. Forstår du?
