matematikk.net

Trenger litt hjelp med en trigonometrisk oppgave. Den lyder som følger:
Summen av to vinkler er 135 og summen av deres tangenser er 5. Finn vinklene.
Jeg tenkte jeg kunne lage to ligninger og satte det opp slik

v + u = 135
tan(v) + tan(u) = 5

u = 135 - v
tan(v) + tan(135-v) = 5

Men hvis jeg løser opp parentesen no, så får jeg tan(v) - tan(v) så det funker jo ikke. Er det ikke mulig å løse denne oppgaven med ligning og isåfall hva må jeg gjøre?

[tex]u+v=0,75\pi[/tex]
og
[tex]\tan(u)+\tan(v)=5[/tex]

-----------------------------------

[tex]u=0,75\pi-v[/tex]
og
[tex]\tan(0,75\pi-v)\,+\,\tan(v)=5\,\,\,(*)[/tex]

og bruker her

[tex]\tan(0,75\pi-v)=\frac{-1-\tan(v)}{1-\tan(v)[/tex]

sett denne relasjonen inn i (*), så fås;

[tex]\tan^2(v)\,-\,5\tan(v)\,+\,6=0[/tex]

løses på vanlig måte...osv (tror d stemmer)

Ok, for [tex]\frac{135}{180} = \frac{75}{100} = 0.75[/tex]

Men jeg skjønte ikke helt det andre. Hvis man har ligningen [tex]tan(v) = 5[/tex]

kan man då skrive den om til [tex]\frac{-1-tan(v)}{1-tan(v)}=0[/tex] ?

Men hvis jeg løser opp parentesen no, så får jeg tan(v) - tan(v)

Det virker som om du tror at du skal gange "tan" med det som er inne i parantesen.

Helt riktig observasjon Fredrik, veldig bra.
Kanskje du kunne forklart meg, hva jeg skulle gjort isteden da?

Parentesene har jo sin dobbelbruk i matematisk notasjon, så det er kanskje noe forvirrende. Parenteser brukes ofte for å indikere at flere ting skal ganges med det som er utenfor, som i tilfellet her: [tex]a(b+c)=ab+ac[/tex]. Andre ganger brukes parenteser for å vise hva som er en funksjonsverdi.

Ta eksemplet her: [tex]f(x) \not= fx[/tex]. Skjønner du? Eller bedre: [tex]f(x+2) \not= fx+f\cdot2[/tex].

Funksjoner kan for alt vi vet ha helt andre regneregler enn vanlige variabler. Et eksempel på en funksjon er sin(x) - sinusfunksjonen. Tan(x) - tangensfunksjonen, cos(x), ln(x), lg(x), [tex]e^x[/tex], og så videre.

For tan(x) har vi regelen:
[tex]tan(u \pm v) = \frac{tan u \pm tan v}{1 \mp tan (u) \cdot tan(v)}[/tex]

Du skal bruke den formelen når du løser stykket du har satt opp:
[tex]tan(v) + tan(135-v) = 5[/tex]

Takk skal du ha. Faktisk så skrev jeg ned den regelen samme dag som jeg fant oppgaven, så jeg burde kanskje klart å koble det.

[tex]u + v = 135[/tex]

[tex]tan(u) + tan(v) = 5[/tex]

[tex]u = 135 - v[/tex]

[tex]\frac{tan(135)-tan(v)}{1+tan(135)\cdot tan(v)} + tan(v) = 5[/tex]

[tex]\frac{tan(135)-tan(v)}{1+tan(135)\cdot tan(v)} + \frac{tan(v)(1+tan(135)\cdot tan(v))}{1+tan(135)\cdot tan(v)} = 5[/tex]

[tex]\frac{\left(tan(135)-tan(v)\right)+\left(tan(v)(1+tan(135)\cdot tan(v))\right)}{1+tan(135)\cdot tan(v)} = 5[/tex]

Stemmer dette noenlunde så langt?

Kan man si at [tex]\frac{tan(u)+tan(v)}{1-tan(u)\cdot tan(v)}=\frac{sin(u+v)}{cos(u+v)}[/tex]

Sliter litt med dårlig internettforbindelse, tid og data for tiden så jeg tror jeg må vente med å prøve å løse den skikkelig til jeg kommer hjem, sammen med å prøve å forstå JanH's løsning. Men jeg leser hvis noen skulle ha noen innvendinger.

er det noen som gidder å forklare hvorfor denne regelen gjelder?(ikke bevis det men forkalr hvorfor)

Den følger av at [tex]\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)[/tex]

... og at [tex]cos(u+v)=cos(u) \cdot cos(v) - sin(v) \cdot sin(u)[/tex]

Vel, regelen du skriver følger direkte av at sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)

[tex]u + v = 135[/tex]

[tex]tan(u) + tan(v) = 5[/tex]


[tex]u = 135 - v[/tex]

[tex]\frac{tan(135)-tan(v)}{1+tan(135)\cdot tan(v)} + tan(v) = 5[/tex]

[tex]\frac{tan(135)-tan(v)}{1+tan(135)\cdot tan(v)} + \frac{tan(v)(1+tan(135)\cdot tan(v))}{1+tan(135)\cdot tan(v)} = 5[/tex]

[tex]\frac{\left(tan(135)-tan(v)\right)+\left(tan(v)(1+tan(135)\cdot tan(v))\right)}{1+tan(135)\cdot tan(v)} = 5[/tex]

[tex]\left(tan(135)-tan(v)\right)+\left(tan(v)(1+tan(135)\cdot tan(v))\right) = 5(1+tan(135)\cdot tan(v))[/tex]

[tex]tan(135)-tan(v)+tan(v)(1+tan(135)\cdot tan(v))=5\left(1+tan(135)\cdot tan(v)\right)[/tex]

[tex]-1-tan(v)+tan(v)(1-tan(v))=5(1-tan(v))[/tex]

[tex]-1-tan(v)+tan(v)-tan^2(v)=5-5tan(v)[/tex]

[tex]-tan^2(v)+5tan(v)-6=0[/tex]

Dette er akkurat samme ligning som Janhaa fikk med omvendt fortegn
Hvordan løser man den?

Bruk substitusjon og sett[tex] u=tan(v)\, \vee\, tan(u)[/tex].

[tex]-(u)^2+5u-6=0[/tex]

[tex]u_1=2\, \, \vee\, u_2=3[/tex]
har funnet at [tex]tan(v)=2\, \vee\, 3[/tex] og at [tex]tan(u)=2\, \vee\, 3[/tex]

[tex]tan(v)=2\, \rightarrow \, \, v=arctan(2)=63.435\textdegree\, \vee\, v=(243.435\textdegree+n180\textdegree)[/tex]
[tex]tan(u)=3\, \rightarrow \, \, u=arctan(3)=71.565\textdegree\, \vee\, u=(251.565\textdegree+n180\textdegree)[/tex]

Har da at:
[tex]tan(v)+tan(u)=5[/tex]
Nice løsning, skal se over hvordan du har gått fram, lage en egen oppgave og lære meg den her.

Bra tenkt bartleif. Tusen takk skal du ha.
Lag en kul oppgave også poster du den her

Takker, heftig oppgave da.

Har allerede løst meg en, "speilvendt" av oppgaven din da

[tex]sin(u)+sin(v)=-5[/tex]
[tex]u+v=-135\textdegree\, \rightarrow\, u=-135\textdegree -v[/tex]

[tex]\frac{\cancel{tan(-135\textdegree)}-tan(v)+tan(v)(1+\cancel{tan(-135\textdegree)}tan(v)}{\cancel{tan(-135\textdegree)}}=\frac{-5(1+\cancel{tan(-135\textdegree)}tan(v))}{\cancel{tan(-135\textdegree)}}[/tex]

[tex]1-tan(v)+tan(v)+tan^2(v)=-5-5tan(v)[/tex]

[tex]tan^2(v)+5tan(v)+6=0[/tex] Setter [tex]u=tan(v)[/tex]

[tex]u^2+5u+6=0[/tex]

[tex]u_1=-2\, \vee\, u_2=-3[/tex]

Bruker tan(u)+tan(v)=-5 og får:

[tex]tan(v_{u_1})+tan(u)=-5\, \rightarrow\, tan(u)=-5-(-2)=-3[/tex]
[tex]tan(v_{u_2})+tan(u)=-5\, \rightarrow\, tan(u)=-5-(-3)=-2[/tex]

Vinklene er tilsvarende til de på forrige aufgabe bare med negativt fortegn.

Forresten, på forrige oppgave er det bare når n er lik 0 løsningene stemmer
Det blir det her og:

[tex]v+u=(-63.435\textdegree+0\cdot180\textdegree)+(-71.565\textdegree+0\cdot180\textdegree)=-135\textdegree[/tex]

Hehe, lang løsning, men her var den