Integrasjonsspørsmål

[kimla]

Oppgaven lyder:

Vis at [tex]((ln x)^2 + 5 * ln x)[/tex] = [tex](2 * ln x + 5)/x[/tex]
(Der venstre side skal deriveres til å bli høyre side, ikke dreven på tex enda).

Går ut fra at det jeg skal gjøre er å integrere høyre side av ligningen til venstre side (antiderivere).

Jeg vil ikke at noen skal gjøre oppgaven, men jeg vil gjerne ha tips om hvordan man skal løse den.

Er det en egen integrasjonsmetode å løse kvotient på som det er ved derivasjon, eller kan jeg integrere ledd for ledd?

Det jeg har prøvd på:
[tex]ln x = x * ln x - x[/tex]
[tex]5 = 5x[/tex]
[tex]x = 1/2*x^2[/tex]

Så setter jeg bare resultatet inn i brøken og løser derfra, er jeg på rett vei (og bare slurver), eller er det en annen måte jeg burde/må gjøre dette på?

[Bogfjellmo]

"Derivasjon er et håndverk, integrasjon er en kunst."
- Viggo Brun (norsk matematiker).

Det er ofte lettere å lykkes som håndverker enn som kunstner.

[kimla]

Hehe, joda, det kan godt hende. Men det hjelper ikke meg så mye i dette øyeblikket akkurat

Dessuten må en maler først lære å male før han kan uttrykke kunsten sin på riktig måte.

[MatteNoob]

Heisann!

Mener du at:

[tex]f(x) = \ln^2 (x) + 5\ln(x)[/tex]

[tex]f\prime(x) = \frac{2\ln(x)+5}{x}[/tex]

I alle fall;
[tex]u = \ln x \;\;\; u\prime = \frac 1x[/tex]

[tex](u^2)\prime \cdot u\prime + 5\cdot(\ln(x))\prime \\ \, \\ 2u\cdot u\prime + 5\cdot \frac 1x[/tex]

Så setter vi inn for u

[tex](2\ln x) \cdot \frac 1x + 5\cdot \frac 1x \\ \, \\ \frac{2\ln x+5}{x}[/tex]

EDIT:
Oppgaven kan løses uten å integrere. Du viser at høyresiden er den deriverte av venstresiden ved å derivere.

Nå kan jo du forsøke å integrere svaret her, for å se om du kommer frem til det samme som vi har i høyresiden:

[tex]\int\left(\frac{2\ln x+5}{x}\right)\rm{d}x[/tex]

Dersom du vil ha et tips (marker teksten i ruten nedenfor):

Skriv om integranden slik at du får to integraler
Bruk delvis integrasjon

[kimla]

Takk for hjelpen MatteNoob. Oppgaven er vel at man skal integrere høyresiden (som er derivert) til å bli det samme som venstresiden.

Et spørsmål om delvis integrasjon; er det ene og alene for å få ett lettere integral å jobbe med?

[kimla]

Seriøst, jeg får det bare ikke til.

Prøver å integrere det tilbake til det originale, kommer nærme noen ganger, men har gått fra å tenke analytisk og bruke reglene riktig til prøv-og-feil metoden, og den funker dårlig!

Skal prøve å komme med en liten forklaring på tankemåten min i morgen.

[FredrikM]

Vel. Du skal bare bruke vanlige derivasjonregler der.

Tips for å løse oppgaven:
[tex]ln (x^2) = 2ln(x)[/tex] (om det er det du mener altså)
[tex]\frac {d}{dx} ln x = \frac 1x[/tex]

Så er det bare å bruke vanlige derivasjonsregler.

[MatteNoob]

Her er hjelp et lite stykke på veien.

[tex]\int\left(\frac{2\ln x+5}{x}\right)\rm{d}x = \int\left(2\ln(x)\cdot \frac 1x + 5\cdot \frac 1x\right)\rm{d}x = 2\underbrace{\int\left(\ln(x)\cdot \frac 1x\right)\rm{d}x}_{\text{delvis integrasjon}} + 5\int \left(\frac 1x\right)\rm{d}x[/tex]

Oppgaven er vel at man skal integrere høyresiden (som er derivert) til å bli det samme som venstresiden.

Det er også en måte å vise det på ja, men hvorfor skulle ikke et fullgodt alternativ være å derivere? Da viser man også at det er riktig. Hadde jeg fått den der på eksamen, så hadde jeg faktisk bare derivert den.

Et spørsmål om delvis integrasjon; er det ene og alene for å få ett lettere integral å jobbe med?

Delvis integrasjon er ikke bare for å gjøre ting lettere, det kan være nødvendig også. (Akkurat slik som at produktregelen, kvotientregelen og kjerneregelen er nødvendig når du deriverer).

[kimla]

Her er hjelp et lite stykke på veien.

[tex]\int\left(\frac{2\ln x+5}{x}\right)\rm{d}x = \int\left(2\ln(x)\cdot \frac 1x + 5\cdot \frac 1x\right)\rm{d}x = 2\underbrace{\int\left(\ln(x)\cdot \frac 1x\right)\rm{d}x}_{\text{delvis integrasjon}} + 5\int \left(\frac 1x\right)\rm{d}x[/tex]

Oppgaven er vel at man skal integrere høyresiden (som er derivert) til å bli det samme som venstresiden.

Det er også en måte å vise det på ja, men hvorfor skulle ikke et fullgodt alternativ være å derivere? Da viser man også at det er riktig. Hadde jeg fått den der på eksamen, så hadde jeg faktisk bare derivert den.

Et spørsmål om delvis integrasjon; er det ene og alene for å få ett lettere integral å jobbe med?

Delvis integrasjon er ikke bare for å gjøre ting lettere, det kan være nødvendig også. (Akkurat slik som at produktregelen, kvotientregelen og kjerneregelen er nødvendig når du deriverer).

Ok, jeg har endelig fått til å derivere det. Det var selvfølgelig enklere enn jeg trodde.

Sliter fremdeles med delvis integrasjon, ja jeg vet, det går sakte i svingene.

Når jeg integrerer
[tex]{\int\left(\ln(x)\cdot \frac 1x\right)\rm{d}x}[/tex]
så kommer jeg frem til
[tex]u = \ln(x)[/tex]
[tex]u\prime = \frac{1}{x}[/tex]
[tex]v = \ln(x)[/tex]
[tex]v\prime = \frac{1}{x}[/tex]

[tex]\int(\frac{1}{x} \cdot \ln(x))\rm{d}x = \ln(x)\cdot\ln(x) - \int(\ln(x)\cdot\frac{1}{x}))\rm{d}x[/tex]

Når jeg ser på det siste integralet, så er det jo akkurat det samme som vi begynte med. Så enten har jeg gjort noe feil (som jo er rimelig sannsynlig), ellers så er det lite vits å delvis integrere her?

[Janhaa]

Når jeg integrerer
[tex]{\int\left(\ln(x)\cdot \frac 1x\right)\rm{d}x}[/tex]
så kommer jeg frem til
[tex]u = \ln(x)[/tex]
[tex]u\prime = \frac{1}{x}[/tex]
[tex]v = \ln(x)[/tex]
[tex]v\prime = \frac{1}{x}[/tex]
[tex]\int(\frac{1}{x} \cdot \ln(x))\rm{d}x = \ln(x)\cdot\ln(x) - \int(\ln(x)\cdot\frac{1}{x}))\rm{d}x[/tex]
Når jeg ser på det siste integralet, så er det jo akkurat det samme som vi begynte med. Så enten har jeg gjort noe feil (som jo er rimelig sannsynlig), ellers så er det lite vits å delvis integrere her?

ser greit ut dette, skriv;

[tex]I=\int(\frac{1}{x} \cdot \ln(x))\rm{d}x = \ln(x)\cdot\ln(x) \,-\,I[/tex]

[tex]2I=\int(\frac{1}{x} \cdot \ln(x))\rm{d}x = \ln(x)\cdot\ln(x)\,+\,C[/tex]

[tex]I\,=\, {1\over 2}\ln^2(x)\,+\,C[/tex]

----------------------------


eller integrer slik med substitusjon;
u = ln(x)
du = (dx / x)

[tex]I=\int{1\over x}\ln(x)\,{\rm dx}[/tex]

[tex]I=\int u\,{\rm du}={1\over 2}u^2\,+\,C={1\over 2}(\ln(x))^2\,+\,C[/tex]

[kimla]

Når jeg integrerer
[tex]{\int\left(\ln(x)\cdot \frac 1x\right)\rm{d}x}[/tex]
så kommer jeg frem til
[tex]u = \ln(x)[/tex]
[tex]u\prime = \frac{1}{x}[/tex]
[tex]v = \ln(x)[/tex]
[tex]v\prime = \frac{1}{x}[/tex]
[tex]\int(\frac{1}{x} \cdot \ln(x))\rm{d}x = \ln(x)\cdot\ln(x) - \int(\ln(x)\cdot\frac{1}{x}))\rm{d}x[/tex]
Når jeg ser på det siste integralet, så er det jo akkurat det samme som vi begynte med. Så enten har jeg gjort noe feil (som jo er rimelig sannsynlig), ellers så er det lite vits å delvis integrere her?

ser greit ut dette, skriv;

[tex]I=\int(\frac{1}{x} \cdot \ln(x))\rm{d}x = \ln(x)\cdot\ln(x) \,-\,I[/tex]

[tex]2I=\int(\frac{1}{x} \cdot \ln(x))\rm{d}x = \ln(x)\cdot\ln(x)\,+\,C[/tex]

[tex]I\,=\, {1\over 2}\ln^2(x)\,+\,C[/tex]

----------------------------


eller integrer slik med substitusjon;
u = ln(x)
du = (dx / x)

[tex]I=\int{1\over x}\ln(x)\,{\rm dx}[/tex]

[tex]I=\int u\,{\rm du}={1\over 2}u^2\,+\,C={1\over 2}(\ln(x))^2\,+\,C[/tex]

Ja, når du introduserte den I-en: [tex]I[/tex] så gikk det overraskende bra, selv om jeg ikke er helt vant med å gjøre sånt, samt bruke flere enn ett likhetstegn. Men ser at du bruker det for å gjøre mer pr. linje og ikke skrive det samme 2 ganger.

Et spørsmål til, generelt som det er; [tex]\rm{d}x[/tex], hvordan sier man dette på godt norsk? Jeg pleier å tenke "med fokus på x" (hvis x er variabelen). Vet dette er feil, eller hvertfall noe uriktig, men det hjelper meg å tenke. Hva er det riktige å si hvis du skulle si integralet på godt norsk?

F. eks. integralet: [tex]\int\frac{\ln(x)}{x}\rm{d}x[/tex] ville jeg oversatt på norsk til: "Integralet av ln(x) over x med fokus på x". Hva ville du sagt?

[Emilga]

Jeg tror det er vanligere å si med hensyn på x.

[kimla]

Jeg tror det er vanligere å si med hensyn på x.

Ok. Takker.

[MatteNoob]

F. eks. integralet: [tex]\int\frac{\ln(x)}{x}\rm{d}x[/tex] ville jeg oversatt på norsk til: "Integralet av ln(x) over x med fokus på x". Hva ville du sagt?

Jeg tror det er vanligere å si med hensyn på x.

Ja, dette bekrefter jeg. De sier mhp, slik som emomilol sier. På engelsk sier de: with respect to x, men det høres kanskje rart ut.

Integralet av lnx over x med respekt til x. hehe

[kimla]

Man skal respektere x!