Avstand til linje og plan

[Wentworth]

Oppgaver som jeg ikke har kunne løst, en av dem er denne;

Oppgave:
Et parallellogram har hjørner i [tex](1,0) \; (5,3) \; (3,5) \; (7,8)[/tex]

Finn arealet av parallellogrammet.
Jeg har prøvd meg på formelen for arealet av et parallellogram [tex]A=a \cdot h[/tex] Men lyktes ikke.

Vil gjerne se løsningen.

Takker på forh.

[bartleif]

Jeg kan selvfølgelig ta feil, første gangen min:

Tegner parallellogrammet og finner [tex]\vec{AB}[/tex] og [tex]\vec{AD}[/tex]:

[tex]\vec{AB}=\vec{0B}-\vec{0A}=[5-1,3-0]=[4-3][/tex]

[tex]\vec{AD}=\vec{0D}-\vec{0A}=[3-1,5-0]=[2,5][/tex]

Arealet utspent av et parallellogram er gitt av:

[tex]|\vec{v_1}\times\vec{v_2}|=A[/tex]

[tex]\vec{AB}\times\vec{AD}=(3\cdot0-0\cdot5)-(4\cdot0-0\cdot2)+(3\cdot2-4\cdot5)=-14[/tex]

Arealet er gitt av [tex]|\vec{AB}\times\vec{AD}|[/tex]:
Dette gir at [tex]|-14|=14[/tex]

Er litt usikker nå, men blir det jeg klarer å finne på

[Wentworth]

Svaret er helt korrekt!

Jeg kom også fram til det samme svaret men da satte jeg et punkt kalt [tex]Q[/tex] på linja [tex]AB[/tex].Dermed står [tex]\vec{DQ} \perp \vec{AB}[/tex].

Videre satte jeg:
[tex]\vec{DQ} \cdot \vec{AB}=\vec{DA}+t\vec{AB}=0[/tex]

Da jeg fant t verdien la jeg den inn i det ovennevnte for å finne [tex]\vec{DQ}[/tex] og kunne enkelt finne kordinatene til [tex]Q[/tex].

Og da var det bare å finne lengden av [tex]\vec{DQ}[/tex].

Til slutt satte jeg inn for [tex]A=a\cdot h[/tex].

Det ga meg :

[tex]|\vec{DQ}| \cdot |\vec{AB}|[/tex]

Begge måtene funker jo.

[FredrikM]

Skal ikke svaret til et vektorprodukt også være en vektor? Og så er lengden av denne lik arelaet?

[bartleif]

Svaret er helt korrekt!

Gode ting det


@FredrikM:

Stemmer det.
Denne vektoren står normalt på både [tex]\vec{AB}[/tex] og [tex]\vec{AD}[/tex] og går i negativ z-retning hvis jeg ikke tar feil, men var egentlig ikke viktig for oppgaven siden lengden av vektoren sin absoluttverdi var spørsmålet så tok jeg det ikke med.

Edit: Hadde jeg f.eks. brukt [tex]\vec{AD}\times\vec{AB}[/tex] hadde jeg funnet at lengden av vektoren var 14, og absoluttverdien hadde fortsatt vært 14. Så svaret blir rett på mange måter tydeligvis. Gøy med vektorer!

Kul måte du tok den på Wentworth!

[ettam]

En liten bemerkning:

Vektorprodukt er ikke pensum 3Mx. Men dersom dere tar R2 (det kurset som erstatter 3Mx) er det kommet inn som pensum (igjen,, heldigvis!).

[Wentworth]

Godt å vite!

[bartleif]

Godt de har fått lagt det til igjen!
Har nylig hatt om vektorer i 2mx og synes det er rimelig bra, da ingen vektorprodukt der. Jeg er vel snart ferdig med 2mx og tenker begynne på 3mx etterhvert.
Spørsmålet mitt er da, vil det lønne seg å kjøre R2 i forhold til 3mx? Begge gir jo .5 realfagspoeng, så er vel opp til pensum, noen som har noen idéer om hva som er det beste pensumet å kjøre hvis man skal starte med fysikk?
Høres vel gjerne ut som R2 ville vært best, men hva da med mangler fra R1? Kommer de til å være store og mange når jeg ikke har tatt R1?

Setter veldig pris på svar

[FredrikM]

En liten bemerkning:

Vektorprodukt er ikke pensum 3Mx. Men dersom dere tar R2 (det kurset som erstatter 3Mx) er det kommet inn som pensum (igjen,, heldigvis!).

Min 3MX-mattebok bruker vektorproduktet som en viktig del av kapitellet. Så er med, men heller dårlig forklart og begrunnet. Kun formelen som står opplyst (altså den lang-og-vanskelig-å-lære-seg-formelen).

bartleif:
Tja, joda, skjønner jeg. Men er det kanskje noe surr i notasjonen din? Du sier altså at [tex]\vec{a}\times\vec{b}=c[/tex], hvor c er et tall? Mangler det ikke noen "|"? Eller er det jeg som roter?

[Emilga]

Det ser ut som Bartleif mangler noen "|", ja.
Her, Bartleif, du kan få et par av mine: ||||||


(Det ligger jo også i navnene: vektorprodukt, og skalarprodukt. I min R2 bok er vektorprodukt også godt og pedagogisk forklart.)