Areal av et bestemt flatestykket.

[Wentworth]

Kurven K er gitt ved: [tex]r=\sqrt{(5cos \theta)^2 + (4sin \theta)^2} \; , \; \theta \in[0,2\pi][/tex].

Finn arealet av det flatestykket som er avgrenset av K.

Kanskje kan jeg skrive denne r som [tex]\sqrt{5^2+4^2 (cos^2 \theta+sin^2 \theta)}=\sqrt{41 \cdot 1}[/tex] Jeg tar kanskje feil å gå fram slik.

Kan noen snille folk hjelpe meg?

[Janhaa]

Mr, "ekke" dette en polarkurve, hvis areal er [tex]\,\,A={1\over2 }\int_0^{2\pi}(r(\theta))^2\,{\rm d\theta}[/tex]

[Wentworth]

Jo,klart janhaa.Så jeg prøver meg fram her for jeg får den ikke helt til,jeg gjør feil et sted men vet ikke hvor;

[tex]\frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (\sqrt{(5cos \theta)^2 + (4sin \theta)^2})^2 \; d \theta =\frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} {(5cos \theta)^2 + (4sin \theta)^2} \; d \theta=\frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} {5^2cos^2 \theta + 4^2sin^2 \theta \; d \theta=\frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} {5^2 + 4^2 cos^2 \theta+sin^2\theta \; d \theta=\frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} {5^2 + 4^2 \cdot 1 \; d \theta=\frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} 41 \; d \theta[/tex]

Hvor gjør jeg feil?Kan noen vise hvordan det skal være?

[zell]

Jo,klart janhaa.Så jeg prøver meg fram her for jeg får den ikke helt til,jeg gjør feil et sted men vet ikke hvor;

[tex]\frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (\sqrt{(5cos \theta)^2 + (4sin \theta)^2})^2 \; d \theta =\frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} {(5cos \theta)^2 + (4sin \theta)^2} \; d \theta=\frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} {5^2cos^2 \theta + 4^2sin^2 \theta \; d \theta\underline{=\frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} {5^2 + 4^2 cos^2 \theta+sin^2\theta}} \; d \theta=\frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} {5^2 + 4^2 \cdot 1 \; d \theta=\frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} 41 \; d \theta[/tex]

Hvor gjør jeg feil?Kan noen vise hvordan det skal være?

Der starter feilen din.

Benytt deg av identiteten: [tex]\cos^2{x} + \sin^2{x} = 1[/tex]

[MatteNoob]

Du har integranden
[tex]5^2 \cos^2 \theta + 4^2 \sin^2\theta[/tex]

Skriv om til:
[tex]5^2\cdot (1-\sin^2 \theta) + 4^2 \sin^2\theta = \underline{5^2 - 9\sin^2 \theta[/tex]

Vi vet at
[tex]\cos(2x) = 1-2\sin^2 x \\ \, \\ \Downarrow \\ \, \\ \sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2}[/tex]

Og da får vi:
[tex]25-9\cdot \left(\frac 12 - \frac 12\cos(2x)\right) = \underline{\frac{41}{2}-\frac 92\cos(2x)}[/tex]

Dette gir:
[tex]A = \frac 12 \int_0^{2\pi}\left(\frac{41}{2}-\frac 92 \cos(2\theta)\right)\rm{d}\theta = \frac 12 \left[\frac{41}{2}\theta - \frac 94\sin(2\theta)\right]_0^{2\pi} = F(2\pi) - F(0) = \frac{2\pi \cdot 41}{4} = \frac{\cancel 2 \pi \cdot 41}{2\cdot\cancel 2} = \underline{\underline{\frac{41\pi}{2}}}[/tex]


PS: Du sa til meg på MSN at du skulle komme hit og gi meg fotmassasje i 1 time dersom jeg tok den. Jeg tror sørlandsekspressen går fra Oslo i 6-tiden. :]

[espen180]

Imponerende.

[Wentworth]

Helt elegant mattenoob! Setter pris på besvarelsen din.





PS: Kommer med helikopter

[zell]

Eventuelt kan du benytte deg av en sammenheng utledet av mrcreosote tidligere på forumet:

[tex]\frac{1}{2}\int_0^{2\pi} 25 - 9\sin^{2}{\theta}\rm{d}\theta = \frac{1}{2}(25\int_0^{2\pi}\rm{d}\theta - 9\int_0^{2\pi}\sin^2{\theta}\rm{d}\theta)[/tex]

[tex]= \frac{1}{2}\large\left(25\int_0^{2\pi}\rm{d}\theta - \frac{9}{2}\int_0^{2\pi}\rm{d}\theta\large\right) = \frac{41}{4}\int_0^{2\pi}\rm{d}\theta = \frac{41\pi}{2}[/tex]

[MatteNoob]

Hei, Zell.
Etter jeg hadde løst denne oppgaven, så samtalet Wentworth og jeg på MSN. Jeg lurte på om han ikke ville spørre etter alternative løsninger, som hadde færre steg, men du kom jo med en uten at han spurte.

Kunne du vist til mrcreosote sitt innlegg?

Edit: Leifer'n was here.

[Wentworth]

Jeg følte at zell hadde noe å legge der. Takk zell!

[MatteNoob]

Jeg følte at zell hadde noe å legge der. Takk zell!

Men skjønner du hva som egentlig skjer? Jeg ser faktisk ikke hvorfor [tex]sin^2 \theta [/tex] forsvinner til fordel for 1, gjør du?

[MatteNoob]

Er det pga grensene?

[tex]x = \{2\pi,\, 0\}[/tex] gir [tex]\cos^2 x = 1[/tex]

Er det derfor du kan bruke dette? Vær grei og forklar :]

[Wentworth]

Foresten;

[tex]\frac{1}{2}\int_0^{2\pi} 25 - 9\sin^{\theta}\rm{d}\theta[/tex]

I integranden her skal sin være opphøyd i andre isteden hvis jeg tenker riktig.

[zell]

Nå finner jeg ikke igjen det omtalte innlegget, så jeg får prøve så godt jeg kan å gjengi det.

For [tex]n \in \mathbb{N}[/tex]

Vil følgende gjelde:

[tex]\int_0^{2\pi} \cos^2{(nx)}\rm{d}x = \int_0^{2\pi} \sin^2{(nx)}\rm{d}x[/tex]

Vi ser derfor at:

[tex]\frac{1}{2}\int_0^{2\pi} \cos^2{(nx)}+\sin^2{(nx)}\rm{d}x = \int_0^{2\pi}\cos^2{(nx)}\rm{d}x[/tex]

Følgelig må:

[tex]\int_0^{2\pi}\cos^2{(nx)}\rm{d}x = \int_0^{2\pi}\sin^2{(nx)}\rm{d}x = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\rm{d}x[/tex]

Merk: Dette gjelder kun for heltallige perioder.

Det vil også gjelde for andre heltallige grenseverdier.

[MatteNoob]

Hjertlig takk, Zell.

Foresten;

[tex]\frac{1}{2}\int_0^{2\pi} 25 - 9\sin^{\theta}\rm{d}\theta[/tex]

I integranden her skal sin være opphøyd i andre isteden for theta hvis jeg tenker riktig.

Selvfølgelig tenker du riktig her. Hvorfor er du usikker på det? Det er jo ikke noe argument i funksjonen engang, så det der er en simpel notasjonsfeil.