Polarkoordinater. En ellipse

[MatteNoob]

Hei.
Driver og stuker med siste avsnitt i dag. Kom over denne oppgaven og har litt vanskeligheter.

En ellipse
[tex]r=\frac{16}{5-3\cos \theta}[/tex]

Ligger i et "vanlig" koordinatsystem, finn skjæringspunktene med koordinataksene.
_____
Jeg prøvde feks dette:

[tex]\sqrt{x^2 + y^2} = \frac{16}{5-3\cos\theta} \\ \, \\ x=0\\ \,\\ y(5-3\cos\theta) = 16 \\ \, \\ x = r\cos\theta \\ \, \\ y(5-x)=16\\ \, \\ x=0 \\ \, \\ y = \frac {16}{5}[/tex]

Jeg ser at det er fire skjæringspunkter, to for hver akse, men dette fører ikke frem, kan noen hinte litt?

[mrcreosote]

Tenk på theta og hva denne vinkelen kan være.

Det kan nok gjøres som under også, men du mister noen løsninger når du bruker [tex]\sqrt{y^2}=y[/tex]; y kan også være negativ, så |y|.

[MatteNoob]

Hvis ellipsen hadde hatt sentrum i origo, så kunne [tex]\theta = \{0\cup 2\pi, \, \frac \pi 2, \, \pi, \, \frac{3\pi}{2}\}[/tex], men polen er i punktet [tex](-3, 0)[/tex] hmmm....


EDIT:
Sentrum er i origo... Det er brennpunktet som er i punktet... Prøver litt igjen jeg.

[espen180]

Tenkte å foreslå å la theta gå runden, men du kom meg nå i forkjøpet.

[mrcreosote]

Hvor sentrum eller hva som helst annet er, har ingenting å si. Du har ei ligning som beskriver ei kurve i planet, så når du setter inn theta=0, vil alle r som da tilfredsstiller ligninga beskrive punkter på kurva som også ligger på x-aksen.

[MatteNoob]

Okey, se på dette da.

Når [tex]\theta = 0\;\vee\; \pi[/tex] er [tex]\cos\theta = 1\;\vee\; \cos\theta = -1[/tex]

Bruker først at [tex]\theta = 0[/tex] hvilket gir [tex]r=8[/tex]

Bruker så at [tex]\theta = \pi[/tex] hvilket gir [tex]r=4[/tex]

Da skulle skjæringspunktene med x-aksen være gitt ved;

[tex]\sqrt{y^2} = 8 \;\;\vee\;\; \sqrt{y^2} = 4 \\ \, \\ y=\pm 8 \;\;\vee\;\; y= \pm 4[/tex]

Altså 4 skjeringspunkter (hvilket ikke stemmer, da vi vet det kun er ett skjæringspunkt for hver side av aksen. Skjæringspunktene for x-aksen skal dermed være i punktene (0, 8) og (0, -4)

Dette er fasiten ikke enig i...

[mrcreosote]

Noen feil: Når theta=pi, er r=2. På x-aksen er y=0.

Hvis du setter theta=0, står det r=8. Dette svarer entydig til punktet (8,0) i xy-koordinater. Tilsvarende med de andre tilfellene.

[MatteNoob]

omg... stressa!

Takk skal dere ha for hjelp. Alt er greit no :]