Avstand Problem

[mathme]

Et rett linje går gjennom [tex]P=(2,-1,4)[/tex] og har retningsvektoren [tex]\rightarrow_{V}= [1,-2,2][/tex]
Finn to punkter på linja som har avstanden [tex]12[/tex] fra [tex]P[/tex].

Jeg begynte med å lage en parameterframstilling for linja:
[tex][x,y,z]=[2,-1,4]+t[1,-2,2][/tex]
som gir
[tex] x= 2+t[/tex] [tex] \wedge[/tex] [tex]y= -1-2t[/tex] [tex] \wedge[/tex] [tex]z= 4+2t[/tex]

Vel:

[tex] \sqrt {(2+t)^2+(-1-2t)^2+(4+2t)^2} = 12[/tex]

Jeg kvadrerer på begge sider og får

[tex] (2+t)^2+(-1-2t)^2+(4+2t)^2 = 12^2[/tex]

[tex]2^2+2 \cdot 2 \cdot t+t^2+1+4t+4t^2+16+16t+4t^2 = 12^2[/tex]

Som gir

[tex]9t^2+24t+21=12^2[/tex]

og derfor:

[tex]9t^2+24t-123 = 0 [/tex]
[tex]t= -5,226[/tex] [tex] \vee[/tex] [tex]t=2,59[/tex]

og dette gir da f.eks koordinatene:

[tex]x= 2 + (-5,226) [/tex]
[tex]y=-1-2(-5,226)[/tex]
[tex]z=4+2(-5,226)[/tex]

Men dette blir helt galt, for i følge fasiten er koordinatene:
[tex](6,-9,12) \vee (-2,7,-4)[/tex]

Hva er det jeg gjør feil ? Tenker jeg feil, eller er det noe annet som jeg ikke ser ? Håper noen kan hjelpe...

Edit: Jeg satt svaret på prøve_
[tex]\sqrt {(4,6)^2+(6,2)^2+(9,2)^2} \approx 12,0[/tex]

[BMB]

Det er [tex]t[1,-2,2][/tex] som skal ha lengde 12. Det er fordi absoluttverdien til denne vektoren angir avstanden til punktet P. Du vil altså finne hvilke t-verdier som gjør av lengde av denne vektoren blir 12.

Edit:

Det du gjør i din utregning, er at du finner punktene som har en posisjonsvektor med absoluttverdi 12 som ligger på linja. Husk at parameterfremstillinga

[tex][x,y,z]=[a,b,c]+t[d,e,f][/tex]

Angir posisjonsvektoren til et punkt på linja. Setter du lengden til denne vektoren lik 12, så vil du altså få svarene du kom fram til.

[MatteNoob]

Viser hele greia, siden det viser logikken.

[tex]\sqrt{\left((2+t)-2\right)^2 + \left((-1-2t)-(-1)\right)^2 + \left((4+2t)-4\right)^2 } = 12 \\ \, \\ \sqrt{t^2 + 4t^2 + 4t^2} = 12 \\ \, \\ 9t^2 = 144 \\ \, \\ t = \pm 4[/tex]

Pga du er ute etter avstanden til P, ikke bare til et vilkårlig punkt. :]

Edit:
Det jeg gjør, er det samme som mannebissen ovenfor sier, men jeg bruker at etthvert punkt på linja har koordinatene (x, y, z) der z, y og z er parameterfremstillingen.

Derfor jeg tok med hele utregningen.

[BMB]

Ja Mattenoob, kanskje best å vise det sånn.

Haha, jeg syns svartiden på spørsmål i år er bedre enn noen gang.

[mathme]

Det er [tex]t[1,-2,2][/tex] som skal ha lengde 12. Det er fordi absoluttverdien til denne vektoren angir avstanden til punktet P. Du vil altså finne hvilke t-verdier som gjør av lengde av denne vektoren blir 12.

Ja, du har helt rett.

Bevis:

[tex]P=(2,-1,4)[/tex] + retningsvektoren gir [tex]Q=(3,-3,6)[/tex]

[tex]PQ= [1,-2,2][/tex]

[tex]|PQ|=3[/tex]

dvs t=4 eller -4 (kunne også regne det direkte)
[tex]\sqrt {(t)^2+-(2t)^2+(2t)^2} = 12[/tex]
kvadrerer:
[tex]t^2+4t^2+4t^2=12^2[/tex]
[tex]9t^2=12^2[/tex]

[tex]t= \pm \sqrt {\frac{{144}}{9}} [/tex]

EDIT: Ser mattenoob har gjort det før meg hehe (nybegynner på Tex)
Men tusen takk begge to NÅ skjønner jeg dette bedre Takk

[mathme]

Edit:

Det du gjør i din utregning, er at du finner punktene som har en posisjonsvektor med absoluttverdi 12 som ligger på linja. Husk at parameterfremstillinga

[tex][x,y,z]=[a,b,c]+t[d,e,f][/tex]

Angir posisjonsvektoren til et punkt på linja. Setter du lengden til denne vektoren lik 12, så vil du altså få svarene du kom fram til.

Ja, helt riktig. Det var der jeg bomma. For OP(hvor p er et vilkårlig punkt på linja l) ... så det er derfor det blir feil.. jeg finner posisjonsvektoren til et punkt på linja som har avstanden 12 fra origo istedet for å finne et punkt som har avstanden 12 fra selve punktet P.'

Tusen takk for hjelpen

[BMB]

Jepp. Du har forstått det.

Merk her at det ikke nødvendigvis hadde trengt å eksistere to slike punkter; ikke ett engang. Dette er selvfølgelig fordi det er mange linjer som ikke har et eneste punkt som har avstand til origo mindre enn eller lik 12. Har det derimot noen punkt i det hele tatt med avstand mindre enn 12, så vil det alltid være to punkter med avstand akkurat lik 12.

Liten digresjon der, men syns bare det var noe verdt å merke seg ^^

Bare kult å hjelpe; prinsippene prentes jo inn på en sjøl også da.