matematikk.net

Jeg prøver å integrere denne ved hjelp av delvis integrasjon
[tex]\int(\frac{1}{x^2+1})dx[/tex]


[tex]\int(1(x^2+1)^{-1})dx[/tex]

[tex]\frac{x}{x^2+1}-\int(x(\frac{1}{x^2+1})^\prime)dx[/tex]

[tex]\frac{x}{x^2+1}+\int(\frac{2x^2}{x^4+2x^2+1})dx[/tex]

Men hva skjer no? Skal jeg bruke delvis integrasjon på dette integralet og. Virker jo som det er enda vanskeligere enn det første. Finnes det noen andre regler for integrasjon av brøker eller produkt?

[tex](\arctan(x))^\prime=\frac{1}{1+x^2}[/tex]

Ok så det blir bare rett og slett arctan(x). Men hvordan klarer man å regne seg fram til det uten å bruke den relasjonen? Eller er det bare sånn at man må kunne det utenat.

Trigonometrisk substitusjon; [tex]x=\tan\theta[/tex]

Javel, takk skal du ha. Tror jeg må prøve på det litt seinere.

Siden vi snakker trig her, blir dette riktig?

[tex]\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2}\rm{d}x[/tex]

[tex]x = \cos t[/tex]

[tex]\sqrt{1-\cos^2 t} = \sqrt{\sin^2 t} = \sin t[/tex]

[tex]\rm{d}x = -\sin t \rm{ d}t[/tex]

[tex]\int_{\arccos (-1)}^{\arccos(1)} \left((\sin t) \cdot (-\sin t)\right)\rm{d}t = -\int_{\pi}^{0} \sin^2 t \rm{ d}t[/tex]

Og:
[tex]\cos (2t) = 1-2\sin^2 t \\ \, \\ \Rightarrow \; \sin^2 t = \frac 12\left(1 - \cos(2t)\right)[/tex]

Leder til at:

[tex]\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2}\rm{d}x = -\int_{\pi}^{0} \sin^2 t \rm{ d}t = -\frac 12 \int_{\pi}^{0} 1-\cos(2t) \rm{ d}t = \left[\frac {\sin(2t) - 2t}{4}\right]_{\pi}^{0} = \underline{\underline{\;\frac \pi 2\;}}[/tex]

MatteNoob wrote:Siden vi snakker trig her, blir dette riktig?
[tex]\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2}\rm{d}x[/tex]
[tex]x = \cos t[/tex]
[tex]\sqrt{1-\cos^2 t} = \sqrt{\sin^2 t} = \sin t[/tex]
[tex]\rm{d}x = -\sin t \rm{ d}t[/tex]
[tex]\int_{\arccos (-1)}^{\arccos(1)} \left((\sin t) \cdot (-\sin t)\right)\rm{d}t = -\int_{\pi}^{0} \sin^2 t \rm{ d}t[/tex]
Og:[tex]\cos (2t) = 1-2\sin^2 t \\ \, \\ \Rightarrow \; \sin^2 t = \frac 12\left(1 - \cos(2t)\right)[/tex]
Leder til at:[tex]\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2}\rm{d}x = -\int_{\pi}^{0} \sin^2 t \rm{ d}t = -\frac 12 \int_{\pi}^{0} 1-\cos(2t) \rm{ d}t = \left[\frac {\sin(2t) - 2t}{4}\right]_{\pi}^{0} = \underline{\underline{\;\frac \pi 2\;}}[/tex]

Ser fint ut dette MN

Jeg prøver å løse dette integralet [tex]\int(\frac{x+1}{x})dx[/tex]

Bruker at 1/x er den deriverte til ln(x)

[tex]\int((x+1)\frac{1}{x})dx[/tex]
[tex]ln(x)(x+1)-\int(ln(x))dx[/tex]
[tex]ln(x)(x+1)-xln(x)-x[/tex]

[tex]xln(x)+ln(x)-xln(x)-x[/tex]

[tex]ln(x)-x+C[/tex]

Men ifølge wolfram så er svaret [tex]ln(x)+x+C[/tex] så hva er det jeg gjør feil?

Jeg tror jeg akkurat skjønte det. Det blir

[tex]xln(x)+ln(x)-(xln(x)-x)=xln(x)+ln(x)-xln(x)+x=ln(x)+x+C[/tex]

Må lære meg å tenke gjennom ting tydeligvis

Man kan forkorte integralet til et lettere.

Mener du [tex]\frac{x+1}{x}=\frac{x}{x}+\frac{1}{x}=1+\frac{1}{x}[/tex]

Då blir det [tex]\int(1)dx+\int(\frac{1}{x})dx=x+ln(x)+C[/tex]

Var nok lettere det ja