Avstand mellom punkt og plan

[espen180]

Hei

Jeg prøver å utvide min horisont, og forsøker å finne avstanden mellom punktet [tex]P=(3,2,4)[/tex] og planet [tex]2x-4y-z=0[/tex]. Så jeg har valgt meg tre punkter på planet (Jeg går ut ifra at dette er nødvendig, da vi opererer i tre dimensjoner.) [tex]A=(3,2,-2)[/tex], [tex]B=(0,1,-4)[/tex] og [tex]C=(4,4,-8)[/tex].

Nå gjør jeg nok en antagelse: Jeg antar at vektoren som går fra P og treffer vinkelrett ned på planet kan gis ved [tex]\vec{PX}=\vec{PA}+k\cdot\vec{AB}+m\cdot\vec{AC}[/tex]. Da blir [tex]\vec{PX}=[m-3k,m-k,-6-6m-2k][/tex]. Siden [tex]\vec{PX}[/tex] står vinkelrett på planet får vi ligningssettet
[tex]1: \, -3m+9k-m+k+12+12m+4k=0 \\ 2: \, m-3k+m-k+36+36m+12k=0 \\ 1: \, k=-\frac67-\frac47m \\ 2: \, k=-8-\frac{19}{4}m \\ 8-\frac67=\left(\frac47-\frac{19}{4}\right)m \\ m=-\frac{200}{117} \\ k=\frac{14}{117}[/tex]

Altså blir [tex]\vec{PX}=\left[-\frac{242}{117},-\frac{214}{117},\frac{470}{117}\right][/tex]

Da gjenstår det kun å sette prøve på svaret.

[tex]-\frac{242}{117}\cdot -3-\frac{214}{117}\cdot-1+\frac{470}{117}\cdot -2=0 \\ -\frac{242}{117}\cdot 1-\frac{214}{117}\cdot1+\frac{470}{117}\cdot -6=-28[/tex]


Det ser ut som vektoren [tex]\vec{PX}[/tex] står vinkelrett på [tex]\vec{AB}[/tex], men ikke på [tex]\vec{AC}[/tex].

Desverre klarer jeg ikke å se hva jeg har gjort feil? Kan dere hjelpe meg?

På forhånd takk.

[mathme]

Hvis PX står vinkelrett på både [tex]AB[/tex] og [tex]AC[/tex], må [tex]AB \times AC = XP[/tex]
Enig ?

Vel,

[tex]AB \times AC = [6--4.-2-18,-6+1] = [10,20,5][/tex]

[tex]XP = -PX[/tex]

[tex][10,20,5] = [3k-m,k-3,6m+6+2k] [/tex]

[tex]3k-m = 10[/tex]
[tex]k-3=20[/tex]
[tex]6+2k = 5[/tex]

Rett meg hvis jeg tenker HELT feil nå..

Vi har også det at hvis XP er vinkelrett på planet er:
[tex]n=[2,-4,-1] \cdot XP = 0[/tex]

[BMB]

Har ikke sett gjennom alt. Men merker meg at [tex]\vec{AC}=[1,2,-6][/tex]

...

Se litt nærmere på uttrykket for [tex]\vec{PX}[/tex].

[Vektormannen]

Strengt tatt er vel en normalvektor til planet gitt i ligningen? Normalvektorens komponenter er jo lik koeffisientene foran x, y, og z. Normalvektoren til dette planet er altså [2,-4,1] (som du ser er parallell med din vektor mathme, hvis du hadde fått rett fortegn på y-komponenten).

Jeg er imidlertid litt interessert selv i å vite hvorfor det å sette opp at PX * AB = 0 og PX * AC = 0 ikke fører frem. Hva er forklaringen på dette?

Edit: svarer til matme her ..

[mathme]

Har ikke sett gjennom alt. Men merker meg at [tex]\vec{AC}=[1,2,-6][/tex]

...

Se litt nærmere på uttrykket for [tex]\vec{PX}[/tex].

Altså avstanden fra et punkt til et plan... hvis P til X på planet skal stå vinkelrett på begge vektorene som utspenner planet, må PX altså være vinkelrett på normalvektoren til planet!! Er det ikke riktig ? Kan man ikke gå ut i fra denne definisjonen ?

[mathme]

Strengt tatt er vel en normalvektor til planet gitt i ligningen? Normalvektorens komponenter er jo lik koeffisientene foran x, y, og z. Normalvektoren til dette planet er altså [2,-4,1] (som du ser er parallell med din vektor mathme, hvis du hadde fått rett fortegn på y-komponenten).

Jeg er imidlertid litt interessert selv i å vite hvorfor det å sette opp at PX * AB = 0 og PX * AC = 0 ikke fører frem. Hva er forklaringen på dette?

Edit: svarer til matme her ..

Derfor er det nødvendig å opperere med normalvektoren n= [2,-4,1] siden den definerer hele planets retning, og for at PX skal stå vinkelrett på planet må PX * n =0... ville det føre frem ?

[Vektormannen]

Hvis PX * n = 0 vil det bety at PX er parallell med planet. Det er vel ikke akkurat ønskelig. Hvis PX er parallell med n, derimot ...

[mathme]

For det kan faktisk være slik at vektoren fra punktet P ned på X i planet, treffer ikke de to vektorene som spenner ut planet, men at den treffer midt i planet eller noe... MEN hvis den treffer midti planet, så er det jo samme sak, altså man kan jo dekomponere de to vektorene som spenner planet ikke sant ? ... dette var vanskelig å forstå, hvorfor funker det ikke ?

[mathme]

Hvis PX * n = 0 vil det bety at PX er parallell med planet. Det er vel ikke akkurat ønskelig. Hvis PX er parallell med n, derimot ...

hmm, var det ikke ortogonalitet da?

[tex] \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 [/tex]<=> [tex]\vec{u}[/tex] vinkelrett på [tex] \vec{v} [/tex]

[ettam]

Denne formelen kan du bruke for å finne avstanden mellom et punkt og et plan:

[tex]d = \frac{|a \cdot x_0 + b \cdot y_0 + c \cdot z_0 +d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}[/tex]

Der punktet har koordinatene [tex](x_0, y_0, z_0)[/tex] og planet har likningen [tex]ax+bx+cx+d=0[/tex]

Utledningen av denne formelen finner du i de fleste mattebøkene som brukes i vgs.

Jeg har tidligere presentert denne formelen, og har da fått høre. "Drit i formelen, prøv å forstå hvordan du kan regne det ut" o.l.

Slike ting får stå for den som uttaler seg slik. Man kan vel få den forståelsen som trengs med å studere utledninga av denne formelen...

[Vektormannen]

Hvis PX * n = 0 vil det bety at PX er parallell med planet. Det er vel ikke akkurat ønskelig. Hvis PX er parallell med n, derimot ...

hmm, var det ikke ortogonalitet da?

[tex] \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 [/tex]<=> [tex]\vec{u}[/tex] vinkelrett på [tex] \vec{v} [/tex]

Jo, men n står jo normalt på planet, og hvis PX skal stå normalt på planet må jo PX være parallell med n, ikke stå vinkelrett på n.

[mathme]

Hvis PX * n = 0 vil det bety at PX er parallell med planet. Det er vel ikke akkurat ønskelig. Hvis PX er parallell med n, derimot ...

hmm, var det ikke ortogonalitet da?

[tex] \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 [/tex]<=> [tex]\vec{u}[/tex] vinkelrett på [tex] \vec{v} [/tex]

Jo, men n står jo normalt på planet, og hvis PX skal stå normalt på planet må jo PX være parallell med n, ikke stå vinkelrett på n.

WÆÆÆÆÆ !!! Du har rett, hva i Guds navn tenkte jeg på ? hahahaha

[BMB]

Var det i det hele tatt noen som leste innlegget mitt? Espen sin metode er super den, han hadde bare slurva helt i begynnelsen med AC-vektor.

[mathme]

Denne formelen kan du bruke for å finne avstanden mellom et punkt og et plan:

[tex]d = \frac{|a \cdot x_0 + b \cdot y_0 + c \cdot z_0 +d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}[/tex]

Der punktet har koordinatene [tex](x_0, y_0, z_0)[/tex] og planet har likningen [tex]ax+bx+cx+d=0[/tex]

Utledningen av denne formelen finner du i de fleste mattebøkene som brukes i vgs.

Jeg har tidligere presentert denne formelen, og har da fått høre. "Drit i formelen, prøv å forstå hvordan du kan regne det ut" o.l.

Slike ting får stå for den som uttaler seg slik. Man kan vel få den forståelsen som trengs med å studere utledninga av denne formelen...

Du har helt rett ettam, så litt lengre frem i boka og her ser jjeg enutledning til denne formelen

[mathme]

Var det i det hele tatt noen som leste innlegget mitt? Espen sin metode er super den, han hadde bare slurva helt i begynnelsen med AC-vektor.

haha, trodde det var espen som skrev det til meg, det var derfor jeg svarte på innlegget ditt. Sorry hehe