Direkte bevis

[lodve]

Hei!

La x være et helt tall. Vis at 6 går opp i x(x-1)(x+1).

Har løst opppgaven uten å ha lyktes. Har vist for både partall og oddetall for x, og likevel går ikke 6 opp i x(x-1)(x+1). Hva kan være feil?

[Vektormannen]

6 består av faktorene 2 og 3. Å bevise at x(x-1)(x+1) gå opp i 6 er altså det samme som å vise at det går opp i både 2 og 3. Hvis du ser litt på produktet ser du at faktorene er tre påfølgende heltall: (x-1)x(x+1). Kan du vise at du vil finne både faktoren 2 og faktoren 3 her?

[lodve]

6 består av faktorene 2 og 3. Å bevise at x(x-1)(x+1) er altså det samme som å vise at det går opp i både 2 og 3. Hvis du ser litt på produktet ser du at faktorene er tre påfølgende heltall: (x-1)x(x+1). Kan du vise at du vil finne både faktoren 2 og faktoren 3 her?

Skal ikke vi bevise at faktorene 3 og 2 går opp i x(x-1)(x+1)?

Hva f.eks 2 går opp i x, betyr det at x skal deles på 2?

[Karl_Erik]

Om a går opp i b betyr det at b delt på a blir et helt tall. 7 går opp i 91 fordi [tex] \frac {91} 7 = 13[/tex]. 6 går ikke opp i 15 fordi [tex]\frac {15} 6 = 2.5[/tex] , som ikke er et helt tall. Når vi vil vise at 6 deler [tex](x-1)x(x+1)[/tex] når x er et helt tall må vi vise at [tex]\frac {(x-1)x(x+1)} 6[/tex] er et helt tall. Du har fått en god måte å gjøre dette på allerede. I og med at [tex]6 = 2 \cdot 3[/tex] kan du også vise at [tex]x(x-1)(x+1)[/tex] er delelig både på 2 og 3 for å løse oppgaven. Hvordan kan du så gjøre dette? Som Vektormannen sa er de tre faktorene tre etterfølgende heltall. Er det noen konklusjoner du kan trekke fra dette?

[lodve]

Jeg har ingen anelse om jeg tenker rikitig nå, men siden du sa at de tre faktorene er tre etterfølgende heltall, tenker jeg at x(x-1)(x+1) at du må finne nullpunktene i hvert faktor som er et heltall? F.eks x = 0
x+1 = 0
x = -1

Og

x-1 = 0
x = 1

Skal jeg da vise for de tre nullpunktene?

Men som sagt, har jeg ingen anelse om jeg tenker riktig angående oppgaven.

[Gommle]

Hvis du har to etterfølgende tall går det ene tallet opp i 2. Hva gjelder da for tre etterfølgende tall?

[lodve]

Hmmm, kan noen her løse oppgaven slik at jeg ser løsningen i forhold til forklaringen deres. Har drevet med et par bevismetoder før, men denne var vrient fra min side. Dette er forresten ikke lekse, hvis noen har mistanker om det. Vil bare forstå det

[Karl_Erik]

Tror du roter litt. Vi behøver ikke finne nullpunkter. Om x=2 blir produktet vårt 1*2*3 = 6, som er delelig med 6. Nøkkelidéen her er å se på 'hvor ofte' tall er delelige med 2 og 3. Om vi skriver opp de naturlige tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 osv ser vi at annenhvert tall er delelig med 2 og at hvert tredje tall er delelig med tre. Da er det fornuftig at om vi tar tre etterfølgende tall må minst ett av dem være et partall og at ett av dem er delelig med tre, sant? Hva kan vi da si om produktet av dem?

[lodve]

Tror du roter litt. Vi behøver ikke finne nullpunkter. Om x=2 blir produktet vårt 1*2*3 = 6, som er delelig med 6. Nøkkelidéen her er å se på 'hvor ofte' tall er delelige med 2 og 3. Om vi skriver opp de naturlige tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 osv ser vi at annenhvert tall er delelig med 2 og at hvert tredje tall er delelig med tre. Da er det fornuftig at om vi tar tre etterfølgende tall må minst ett av dem være et partall og at ett av dem er delelig med tre, sant? Hva kan vi da si om produktet av dem?

Snakker vi nå om partall og oddetall? Siden partall er jo tall som kan deles på 2 og oddetall på 3. Tenker jeg rikitg nå?

[2357]

Alle partall kan deles på 2. Ikke alle oddetall kan deles på 3.

[Karl_Erik]

Tror du roter litt. Vi behøver ikke finne nullpunkter. Om x=2 blir produktet vårt 1*2*3 = 6, som er delelig med 6. Nøkkelidéen her er å se på 'hvor ofte' tall er delelige med 2 og 3. Om vi skriver opp de naturlige tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 osv ser vi at annenhvert tall er delelig med 2 og at hvert tredje tall er delelig med tre. Da er det fornuftig at om vi tar tre etterfølgende tall må minst ett av dem være et partall og at ett av dem er delelig med tre, sant? Hva kan vi da si om produktet av dem?

Snakker vi nå om partall og oddetall? Siden partall er jo tall som kan deles på 2 og oddetall på 3. Tenker jeg rikitg nå?

Ikke helt, men du er inne på noe. Er riktig at vi kunne sagt partall istedet for tall som kan deles på to, ja, men som 2357 sa finnes det oddetall som ikke kan deles på 3. Nøkkelidéen er uansett det samme. Du er sikkert enig i at blant tre etterfølgende tall er det minst ett partall. (Ellers måtte det jo vært tre etterfølgende tall som alle er oddetall, og det hadde jo vært litt rart.) Hva med tall som er delelige på tre? Hvor mange kan det være av dem blant tre etterfølgende tall?

[lodve]

Begynner å forstå det, men har ikke helt fått det til. Har matte i morgen, og kan spørre læreren min om hjelp angående oppgaven. Ellers tusen takk for hjelpen deres.

[Gommle]

Tallrekkene 123 og 234 kan illustrere alle de mulige rekkene.

På begge er et av tallene delelig på 3, og ett eller to av de andre tallene er partall.

Da er altså 2 og 3 faktorer i produktet av disse tallene. Og hva vet vi om tall som har både 2 og 3 som faktorer? De har 6 som en faktor.

[Gnome]

Man kan forklare det ganske enkelt:

Alle tall med tverrsum delelig på 3, er delelig på tre.

Alle partall med tverrsum delelig på 3, er også delelig på 6, sånn er det bare. Beviset for det er ikke akkurat frokostmat...

Hvis du ser på rekken av faktorer du får ved å gange sammen parentesene, får du altså tre tall i rekkefølge.

Hvis du tar det midterste tallet og ganger med tre, får du akkurat det samme som om du tok alle tre tallene og plusset sammen, dvs. gjennomsnittet, og av den grunn vet du nå at enhver slik rekke av tre tall, har en tverrsum delelig på 3, ettersom tverrsummen er lik det midterste tallet ganger 3.

Du vet også at partall ganger oddetall ganger partall, blir partall. Samme gjelder det andre tilfellet av odd ganger par ganger odd.

Så, når vi har vist at tverrsummen alltid er delelig med tre, og er et partall, vet vi også at tallet er delelig med 6.

[daofeishi]

Dette er nok ikke et helt godt bevis hvis jeg forstår deg rett, Gnome, for du antar at dersom summen av tre tall er delelig med 3, vil tverrsummen av produktet av tallene også være delelig med 3. Dette stemmer ikke. 1 + 1 + 1 = 3, men 1*1*1=1, og er ikke delelig med 3.