Tyngdepunkt av flateareal...

[meCarnival]

Oppgave lyder:


Jeg har ikke hatt om dette i forelesningene men leser i boka og prøver å lære selv før forelesningene så jeg lærer av feil.
Problemet her er at boka har kun et eksempel og da er det gitt tre punkt i et koordinatsystem. Som ike ligner på denne oppgaven.

Vi har fått utdelt et formelhefte vi bruker rimelig ofte og finner kun denne en regel om tyngdepunkt:


Sett det er andre formler i boka også men jeg antar vi skal bruke formelhefte siden foreleseren bruker det hele tiden..
Er det mulig å løse oppgave mhp den overstående formelen?
Noen start tips hadde vært kos ...



meC...

[arildno]

Vel, masse-senterets x-koordinat er den masse-vektede gjennomsnittsposisjonen.

Tenk deg n punktmasser, med total-masse M, og posisjoner $x_i,i=1,...n$ med tilhørende masser $m_i$

Da er selvfølgelig masse-midtpunktet gitt som:
$\bar{x}=\frac{m_1{x}_1+m_2{x}_2++++m_n{x}_n}{M}$

Helt tilsvarende gjelder for en kontinuerlig fordeling, der hvert punkt har massen $dm=\rho dA$, der $\rho$ er (den lokale) massetettheten

Vi har derfor, gitt konstant massetetthet:
$\bar{x}=\frac{1}{M}\int xdm=\frac{1}{\rho A}\int x\rho dA=\frac{1}{A}\int xdA$

Helt tilsvarende gjelder for y-koordinaten.
Integraltegnet angir i dette tilfelle et dobbeltintegral.

[meCarnival]

Så hvis jeg forstår riktig nå er at jeg ikke kan bruke den regelen (som er den eneste i formelheftet om tyngdepunkt til flateareal) så kommer jeg til å regne ut med kontinuerlig fordeling som du har skrevet om under.
- Det er fordi jeg ikke har noen massevekter oppgitt i oppgaven min...

[arildno]

Så hvis jeg forstår riktig nå er at jeg ikke kan bruke den regelen (som er den eneste i formelheftet om tyngdepunkt til flateareal) så kommer jeg til å regne ut med kontinuerlig fordeling som du har skrevet om under.
- Det er fordi jeg ikke har noen massevekter oppgitt i oppgaven min...

Joda, iogmed at pr. definisjon (let den frem!!), så har vi:
$M_x\equiv \int xdA$, osv
(Du har skrevet feil tror jeg, med Mx og My)

[meCarnival]

Hvor tror du jeg har skrevet feil hen?

Bare få det ut av verden og glor på definisjon i boka nå, så får se om jeg blir noe klokere

[fish]

Jeg tror ikke du har skrevet feil. Det er nok relativt vanlig at

$M_x$ betyr "statistk moment mhp x-aksen og tilsvarende for $M_y$, og da er formlene for tyngdepunktet helt ok.

[meCarnival]

Ok, kommet et stykke på vei...

EDIT:
Woho

[meCarnival]

Nå har jeg sett litt på c og vet ikke helt hvordan jeg skal angripe den...!


Kniv, øks? Eller noen gode forslag?

meC

[arildno]

La (x,y) være et punkt i flaten din.
Da gis det statiske moment om linja x=-1 fra dette punktet som massen dm til punktet ganget med avstanden punktet har til linja, nemlig x-(-1)=x+1.
Dermed blir totalen:
$\int (x+1)\rho dxdy=\int x\rho dxdy+\int \rho dxdy$
Siden tettheten er konstant, sett den lik 1, og du gjenkjenner greit integralene fra tidligere regnete oppgaver.