Stasjonære punkter.

[båttt]

har litt problemer med å finne ut stasjonære punkter til grafer. Er 2 oppgaver jeg sliter med.

Først:

f(x) = (x-1)*lnx

Her skal jeg finne ut definisjonsmengden og de stasjonære vendepunktene. Definisjonsmengden er vel (0,uendelig).
Har regnet ut første- og andre-derivert:

f'(x) = ln(x) + ((x-1)/x)

f''(x) = (1/x) + (x^-1) + (x-1)(-x^-1) = -(2x-2)/x

Kommer rett og slett ikke lenger. Sliter med ln'en i uttrykket, og finner hverken stasjonære punkter eller vendepunkter...



OK, den andre oppgaven går også ut på å finne stasjonære punkter:

f(x) = -(x^3) - (4x^2) + 3x + 2
Df = [-10, 1]

Så jeg deriverer:

f'(x) = (-3x^2) - 8x + 3

Hvordan går jeg fram herfra? Tenkte jeg kunne bruke annengradsformelen og sette det deriverte uttrykket = 0, men det ble jo bare tull..

[Andreas345]

f(x) = (x-1)*lnx

f'(x) = ln(x) + ((x-1)/x)

f''(x) = (1/x) + (x^-1) + (x-1)(-x^-1) = -(2x-2)/x

Den andre deriverte er feil, den skal være

[tex]\frac {d}{dx} ln(x) + \frac {x-1}{x}[/tex]

[tex]\frac {1}{x}+ \frac {d}{dx}(x-1)*(x^-1)+(x-1)*\frac {d}{dx}(x^-1)[/tex]

[tex]= \frac {2}{x}-\frac {x-1}{x^2}[/tex]

Som igjen kan skrives som

[tex]\frac {x+1}{x^2}[/tex]

f'(x) = (-3x^2) - 8x + 3

Her er du på rett vei, er bare til å derivere igjen så får du

[tex]-6x-8[/tex]

Nå skulle det vel ikke være noe problem å løse oppgaven..

[båttt]

f(x) = (x-1)*lnx

f'(x) = ln(x) + ((x-1)/x)

f''(x) = (1/x) + (x^-1) + (x-1)(-x^-1) = -(2x-2)/x

Den andre deriverte er feil, den skal være

[tex]\frac {d}{dx} ln(x) + \frac {x-1}{x}[/tex]

[tex]\frac {1}{x}+ \frac {d}{dx}(x-1)*(x^-1)+(x-1)*\frac {d}{dx}(x^-1)[/tex]

[tex]= \frac {2}{x}-\frac {x-1}{x^2}[/tex]

Som igjen kan skrives som

[tex]\frac {x+1}{x^2}[/tex]
..

OK, nå er jeg ikke helt med her. Prøvde å starte ut fra der du starter, og får:

(1/x) + (x - 1)(-x^2) + (x^-1)(1) =
(1/x) + (-x^-1) - (x^-2) + (x^-1) =
(1/x) - (x^-2)

Her har jeg tydeligvis gjort noe feil, hva er det jeg gjør galt?

Her er du på rett vei, er bare til å derivere igjen så får du

-6x-8

Nå skulle det vel ikke være noe problem å løse oppgaven..

Hmm, joda, skjønner at det er greit å regne ut annenderivert når man skal finne vendepunkter, men trodde ikke man trengte det når jeg skal finne stasjonærpunktene. Hva er det jeg har misforstått her?

[Andreas345]

Det eneste jeg lærte i fjor i R1 var toppunkt, bunnpunkt og vendepunkt
Stasjonære punkt ligger utenfor mine kunnskaper, jeg bare hjalp deg med å derivere riktig

OK, nå er jeg ikke helt med her. Prøvde å starte ut fra der du starter, og får:

(1/x) + (x - 1)(-x^2) + (x^-1)(1) =
(1/x) + (-x^-1) - (x^-2) + (x^-1) =
(1/x) - (x^-2)

(1/x) + (x - 1)(-x^-2) + (x^-1)(1)=[tex]\frac {1}{x}-\frac {x-1}{x^2}+\frac {1}{x}[/tex]

Edit: Stasjonære punkt kan visst være toppunkt og bunnpunkt. Var bare et annet begrep xD

Beklager hvis jeg har villedet deg Var ikke med vilje.

Men det er ikke verre enn å sette f'(x)=0 for stasjonærepunkt og f''(x)= 0 for vendepunkt.

[Andreas345]

f'(x) = (-3x^2) - 8x + 3

Hvordan går jeg fram herfra? Tenkte jeg kunne bruke annengradsformelen og sette det deriverte uttrykket = 0, men det ble jo bare tull..

Det blir ikke bare tull, svaret blir
[tex]x=\frac {1}{3}[/tex] eller [tex]x=-3[/tex]

Tegn så opp fortegnslinjer og se hva som er toppunkt og hva som er bunnpunkt.

[båttt]

f'(x) = (-3x^2) - 8x + 3

Hvordan går jeg fram herfra? Tenkte jeg kunne bruke annengradsformelen og sette det deriverte uttrykket = 0, men det ble jo bare tull..

Det blir ikke bare tull, svaret blir
[tex]x=\frac {1}{3}[/tex] eller [tex]x=-3[/tex]

Tegn så opp fortegnslinjer og se hva som er toppunkt og hva som er bunnpunkt.

0 = (-3x^2) - 8x + 3
x = (8+- ([symbol:rot] (8^2)-(4*3*3)))/(-6)
= (8+- ([symbol:rot] 28))/(-6)

Svaret på det blir ihvertfall bare tull, så da gjør jeg noe galt i utregninga da?


Og på den andre oppgaven:

f'(x) = ln(x) + ((x-1)/x)
0 = ln(x) + ((x-1)/x)

Jeg kommer ikke lengre enn dette. Skjønner ikke åssen jeg skal få løst den likningen med ln'en og alt det andre styret...

Takk for tålmodigheten forresten...

[Andreas345]

Hva med [tex]\frac {-3x^2 - 8x + 3}{3}=-x^2-\frac {8}{3}x+1[/tex]

Er ikke noe å takke for forresten Var jeg som forvirret deg siden jeg ikke var vant til det begrepet

[Andreas345]

f'(x) = ln(x) + ((x-1)/x)
0 = ln(x) + ((x-1)/x)

[tex]ln(x)=-\frac {(x-1)}{x}[/tex]

[tex]ln(x)=\frac {1}{x}-1[/tex]

[tex]x=ln \frac {1}{x}[/tex]

[tex]x=ln 1- ln(x)[/tex]

[tex]x=1[/tex]


PS:(ln 1=0 og -ln(x)=1), er litt usikker på -ln(x)=1, var det mathcad sa, men har ikke vært bort i det før.

[båttt]

f'(x) = ln(x) + ((x-1)/x)
0 = ln(x) + ((x-1)/x)

[tex]ln(x)=-\frac {(x-1)}{x}[/tex]

[tex]ln(x)=\frac {1}{x}-1[/tex].

Uff, her var det mye regler jeg tydeligvis ikke kan/husker. Hva er det du har gjort med høyresiden her? Snudd brøken på hodet og satt (-1) utenfor? Hvorfor er det det samme?

Så ganger vi hele utrykket med ln og vi får

[tex]x=ln \frac {1}{x}[/tex]

Ganger hele uttrykket med ln? kan du forklare dette steget nærmere?

[tex]x=ln 1- ln(x)[/tex]

[tex]x=1[/tex]


PS:(ln 1=0 og -ln(x)=1), er litt usikker på -ln(x)=1, var det mathcad sa, men har ikke vært bort i det før

Høres veldig veldig rart ut spør du meg.. Noen som kan bekrefte/avkrefte dette?

[Vektormannen]

Å "gange med ln" gir ingen mening. ln er ikke et tall. Det er en funksjon.

Jeg ville heller gjort det slik:

[tex]\ln x + \frac{x-1}{x} = 0[/tex]

[tex]\ln x + \frac{x}{x} - \frac{1}{x} = 0[/tex]

[tex]\ln x + 1 - \frac{1}{x}[/tex]

Dette er en ligningstype som er vanskelig å løse ved regning. Derfor ville jeg i utgangspunktet brukt digitalt verktøy her. Men denne er litt spesiell. Ganger med -1 på begge sider, hiver over -1:

[tex]\frac{1}{x} - \ln x = 1[/tex]

[tex]\frac{1}{x}[/tex] er mindre enn 1 så lenge x > 1. Akkurat når x er 1, har brøken verdien 1. Da ser vi at logaritmen blir 0 (ln(1) = 0). Dermed må x = 1 være en løsning på ligningen. Og dermed har grafen et stasjonært punkt ved x = 1.

[båttt]

Aaah, da skjønner jeg! Takk!

[båttt]

Legger denne inn her jeg, da denne også omhandler stasjonærpunkter. Skal finne stasjonærpunktene til

f(x) = ((1/4)e^4x) – x

Deriveringa er riktig etter hva jeg har sett:

f’(x) = (e^4x) – 1
f’’(x) = 4(e^4x)

Finner ut at funksjonen har et minimumspunkt i x=0, i (0,(1/4)), men skjønner ikke hvordan jeg skal gå fram når det gjelder vendepunkt. I tillegg, når jeg plotter inn f(x) på en grafisk kalkulator får jeg en rett uendelig linje, stemmer det, og er jeg isåfall helt på jordet?