cos(v/2)

[morfeus]

Oppgavesamling 3mx
Oppgave 254

Finn eksakt verdi for cos(v/2) når cos v =1/4.

[Vektormannen]

Det er sikkert mange veier i mål her, men du kan f.eks. benytte at [tex]\cos(a+b) = \cos a \cdot cos b - sin a \cdot sin b[/tex]. [tex]\cos v[/tex] kan jo skrives som [tex]\cos(\frac{v}{2} + \frac{v}{2})[/tex].

[morfeus]

ja, det er den veien jeg har prøvd, men ender ikke i mål.

jeg får:

cos(v/2)*cos(v/2)-sin(v/2)*sin(v/2)

cos^2(v/2)-sin^2(v/2)

men hva så?
jeg ser ikke skogen for bare tall....

[Vektormannen]

Det uttrykket du har kommet frem til skal være lik 1/4 (det er jo bare et annet uttrykk for cos v, som skal være lik 1/4). Du har altså ligninga [tex]\cos^2(\frac{v}{2}) - \sin^2(\frac{v}{2}) = \frac{1}{4}[/tex].

Nå får du bruk for "pytagorasidentiteten", at [tex]\sin^2 x + \cos^2 x = 1[/tex].

[morfeus]

da får jeg et svar men fasiten er ikke helt enig:

cos(v/2+v/2)=1/4

cos(v/2)*cos(v/2)-sin(v/2)*sin(v/2) =1/4

cos^2(v/2)-sin^2(v/2)=1/4

cos^2(v/2)-(1-cos^2(v/2))=1/4

2cos^2(v/2)=5/4

cos^2(v/2)=5/8

cos(v/2)= [symbol:rot] 5/ [symbol:rot] 8

fasiten mener at svaret skal være [symbol:rot] 10/4
haha samme svaret,

[Vektormannen]

Svaret ditt er helt riktig det! (Rekn ut ditt og fasitsvaret på kalkulator og sammenlign)

Fasiten har bare pyntet på det: [tex]\frac{\sqrt 5}{\sqrt 8} = \frac{\sqrt 5 \cdot \sqrt{8}}{\sqrt 8 \cdot \sqrt 8} = \frac{\cancel{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{\cancel{8}} = \frac{\sqrt{10}}{4}[/tex]

Det er vanlig å "pynte" på slike brøker for å få en heltallig nevner.

[morfeus]

takk, var jo ikke så vanskelig, men det som forvirret meg var faktoren foran v inne i cos, som var <> 2.

Jeg har bare sett omforminger for cos2v og sin2v og har lurt fælt på om det finnes noen regler for behandling av cos(n*v).

Så når det dukker opp 1/2 som faktor så ble jeg opphengt i at det måtte være en mystisk formel ett eller annet sted jeg hadde oversett.