Fourierintegral og varmeligningen

[hakonsa]

Hei!

Holder på med en oppgave om varmeligningen:

[tex]u_t = c^2u_{xx}[/tex]

Har fått en initialbetingelse:

[tex]u(x,0)=f(x)=\frac{sin x}{x}[/tex]

Vi skal bruke:

[tex]u(x,t)=\int_0^\infty [A(p)cos px + B(p)sin px]e^{-c^2p^2t} dp[/tex]

Vi prøver å finne A(p) og B(p) vha. fourierintegral:

[tex]A(p)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{sin v}{v}cos pv dv[/tex]
[tex]B(p)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{sin v}{v}sin pv dv[/tex]

Men vi får begge til å bli 0 pga. ulik funksjon i B(p)-integralet og fordi vi får dette for A(p):

[tex]A(p) = \frac{1}{\pi}(Si(\infty) - Si(\infty)) = 0[/tex]

Hva skjer da?

[fish]

Benytt at fouriertransformen til funksjonen gitt ved [tex]g(p)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2},&|p|<1\\0,&\mbox{ellers}\end{array}\right.[/tex] blir [tex]\frac{\sin v}{v}[/tex].