Tall følge gitt ved ...

[mathme]

Vi bruker tallfølgen gitt ved [tex]a_n=n^2-2n+6[/tex].

Vis at den eksplitte formelen for ledd nr. [tex]n-1[/tex] er [tex]a_{n-1} = n^2-4n+9[/tex]

For å være helt ærlig, har jeg absolutt ingen anelse hvor jeg skal begynne eller hvordan jeg skal bevise denne saken her. Kan noen hjelpe meg ? Tusen takk.

EDIT {1} :

Jeg fant ut en rekrusiv formel for tallfølgen:

5,6,9,14,21,30,...

[tex]a_n=a_{n-1}+n+n-1[/tex]

Denne satt jeg lik den orginalen:

[tex]a_{n-1}+n+n-1 = n^2-2n+6[/tex]

Men når jeg flytter over for å løse får jeg feil:

[tex]a_{n-1} = n^2-4n+7[/tex]

[Vektormannen]

Hva med å sette inn (n-1) for n i formelen?

[mathme]

Hva med å sette inn (n-1) for n i formelen?

Hvorfor skal jeg gjøre det ? Er ikke dette et uttrykk for et hvilket som helst ledd ? Blir det ikke feil å bare bytte ut sånn ?

btw, redigerte 1. innlegget mitt her.

[Vektormannen]

Nei, hvorfor skulle det bli feil? Formelen gir deg et hvert ledd i følga. Da må den jo gi deg et uttrykk for ledd nr. n-1 når du setter inn n-1?

Når det gjelder forsøket ditt på å gå om rekursiv formel, så skal det gå fint, men du gjør feil. Den rekursive formelen din sier at [tex]a_2 = a_1 + 2 + 2 - 1 = 5 + 3 = 8[/tex]. Det stemmer ikke. Se om du får til en riktig formel, så går det nok fint å finne en for [tex]a_{n-1}[/tex]

[mathme]

Nei, hvorfor skulle det bli feil? Formelen gir deg et hvert ledd i følga. Da må den jo gi deg et uttrykk for ledd nr. n-1 når du setter inn n-1?

Når det gjelder forsøket ditt på å gå om rekursiv formel, så skal det gå fint, men du gjør feil. Den rekursive formelen din sier at [tex]a_2 = a_1 + 2 + 2 - 1 = 5 + 3 = 8[/tex]. Det stemmer ikke. Se om du får til en riktig formel, så går det nok fint å finne en for [tex]a_{n-1}[/tex]

ÅJAA! Du har selvfølgelig helt rett !

[tex]a_n = a_{n-1}+2n - 3[/tex]

Men dette fant jeg bare ved å ta hensyn til [tex]n^2-4n+9[/tex] ...

Jeg hadde aldri klart å tenke meg fram til [tex]a_n = a_{n-1}+2n - 3[/tex]... det er så vanskelig... det blir nesten prøving og feiling hele tida

[Vektormannen]

Du var jo inne på noe med den første formelen din -- det er jo økende oddetall (1,3,5,7...) som er differansene mellom leddene i følga. Det er bare at din formel begynner med differansen 3 mellom det første og det andre leddet, i stedet for 1. Hvis vi skal ha differansen 1 mellom [tex]a_2[/tex] og [tex]a_1[/tex], må formelen bli [tex]a_n = a_{n-1} + 2(n-1) - 1 = a_{n-1} + 2n - 3[/tex]. Legg merke til at 2(n-1) - 1 er oddetall nr. (n-1).

En god regel er alltid å teste ut formelen du har kommet frem til. Se om formelen faktisk gir deg de tallene i følga som er gitt i oppgaven.

[mathme]

Du var jo inne på noe med den første formelen din -- det er jo økende oddetall (1,3,5,7...) som er differansene mellom leddene i følga. Det er bare at din formel begynner med differansen 3 mellom det første og det andre leddet, i stedet for 1. Hvis vi skal ha differansen 1 mellom [tex]a_2[/tex] og [tex]a_1[/tex], må formelen bli [tex]a_n = a_{n-1} + 2(n-1) - 1 = a_{n-1} + 2n - 3[/tex]. Legg merke til at 2(n-1) - 1 er oddetall nr. (n-1).

En god regel er alltid å teste ut formelen du har kommet frem til. Se om formelen faktisk gir deg de tallene i følga som er gitt i oppgaven.

TUSEN TaKK Vektor!

Her er hva oppgava lærte meg.

Hvis du har en eksplisitt tallfølge gitt f.eks som [tex]2n^2[/tex], kan du lett finne en rekrusiv formel for det n-te leddet, ved å først sette inn [tex](n-1)[/tex] istedet for n og finne a_{n-1}, og deretter ta differansen mellom[tex] 2n^2 [/tex] og [tex]a_{n-1}[/tex]..., da får du altså [tex]a_n-a_{n-1}[/tex], og kan flytte [tex]a_{n-1}[/tex] over og få en rekrusiv formel. Altså fra eksplisitt til rekrusiv.

[Vektormannen]

Det stemmer det

Edit: underforstått at følgen baserer seg på differanser mellom leddene ...

[mathme]

Jeg får derimot et lite problem med denne her (jeg er utrolig dårlig med potenser, ln osv)

[tex]d_n = 10 \cdot 2^n[/tex]

Bytter ut [tex]n[/tex] med [tex]n-1[/tex] ;

[tex]d_{n-1} = 10 \cdot 2^{n-1}[/tex]

[tex]d_n - d_{n-1} = 10 \cdot 2^n - (10 \cdot 2^{n-1})[/tex]

[tex]2^{n-n-(-1)} = 2^1 = 2[/tex]

[tex]a_n = a_{n-1} - 2[/tex]

Fasiten sier derimot [tex]a_n = 2a_{n-1}[/tex]

Jeg forstår ikke hva jeg gjør galt

[Vektormannen]

Hvor har du det fra at [tex]2^n - 2^{n-1} = 2^{n - n - 1}[/tex]?

Edit: uansett vil du ikke få fasitsvaret her, med denne metoden. Du vil få en annen rekursiv formel (som også beskriver følgen.)

For å få fasitsvaret er det vel enklest å skrive ned de første leddene og så finne en rekursiv formel ved å se på leddene.