Enda en rar forklaring

[mathme]

Jeg blir snart gal av dette , allt ser så rart ut. Som f.eks dette her:

[tex]3+10+17+24+31[/tex]

Denne her øker med 7 per ledd. [tex]a_n = a_{n-1}+7[/tex]

Eksplisitt: [tex]7n-4[/tex]

I forklaringa står det at eksplisitte formelen er [tex]3,5n^2-0,5n[/tex].

Kan noen værsåsnill hjelpe meg med å se hvordan boka har kommet fram til det ?
Tusen hjertelig takk

[espen180]

Sikker på at du skulle finne formelen for [tex]a_n[/tex] og ikke formelen for [tex]S_n[/tex]?

[mathme]

Sikker på at du skulle finne formelen for [tex]a_n[/tex] og ikke formelen for [tex]S_n[/tex]?

Det står "Hva er [tex]S_{100}[/tex]?"

(forresten, beklager at jeg ikke har sendt prøva ennå, scanneren har klikka, men jeg skal skrive den for hånd og sende på PM her )

[Vektormannen]

Da må du finne formelen for summen av de n første leddene, ikke formelen for akkurat det n'te leddet!

Boka di kommer antageligvis frem til formelen du nevnte slik:

[tex]S_n = 3 + (3 + 7) + (3 + 7 \cdot 2) + ... + (3 + 7 \cdot (n-1))[/tex]

Her forekommer faktoren 3 n ganger, så vi har

[tex]S_n = 3 \cdot n + 7 + 7 \cdot 2 + 7 \cdot 3 + ... + 7 \cdot (n-1)[/tex]

Vi faktoriserer ut 7:

[tex]S_n = 3 \cdot n + 7(1 + 2 + 3 + ... + (n-1)) = 3n + 7\frac{n(n-1)}{2}[/tex]

Og dette gir at [tex]S_n = \frac{7}{2}n^2 - \frac{1}{2}n = 3.5n^2 - 0.5n[/tex].

[Janhaa]

siden jeg ikke underviser i matte for tia, og ikke helt kjenner til pensumet:
er d ikke "lov" å gjøre slik?

[tex]S_n=(\frac{a_1+a_n}{2})n=(\frac{3+7n-4)}{2})n=3,5n^2\,-\,0,5n=0,5n(7n-1)[/tex]

[Vektormannen]

Jo, det er vel det. Denne oppgaven står i et underkapittel som kommer før den formelen blir tatt opp, men såklart er vel det enklest :p

[mathme]

Da må du finne formelen for summen av de n første leddene, ikke formelen for akkurat det n'te leddet!

Boka di kommer antageligvis frem til formelen du nevnte slik:

[tex]S_n = 3 + (3 + 7) + (3 + 7 \cdot 2) + ... + (3 + 7 \cdot (n-1))[/tex]

Her forekommer faktoren 3 n ganger, så vi har

[tex]S_n = 3 \cdot n + 7 + 7 \cdot 2 + 7 \cdot 3 + ... + 7 \cdot (n-1)[/tex]

Vi faktoriserer ut 7:

[tex]S_n = 3 \cdot n + 7(1 + 2 + 3 + ... + (n-1)) = 3n + 7\frac{n(n-1)}{2}[/tex]

Og dette gir at [tex]S_n = \frac{7}{2}n^2 - \frac{1}{2}n = 3.5n^2 - 0.5n[/tex].

Jeg forstår absolutt allt unatt en liten grunnleggende ting som har betydning for hele greia.. hvorfor ganger du 3 med n.

3+7(0,1,2,3,4,...(n-1))

er det jeg kommer fram til. Jeg forstår ikke helt, håper du gidder å forklare litt mer detaljert hvorfor du ganger 3 med n.

[Vektormannen]

Fordi 3 forekommer n ganger i summen, og 3 lagt sammen med seg selv n ganger er jo 3 * n.

[mathme]

Fordi 3 forekommer n ganger i summen, og 3 lagt sammen med seg selv n ganger er jo 3 * n.

ahhaa! Jeg skal gjøre det uten å se på din nå:

[tex]3 + (3+7) + (3+7+7) + (3+7+7+7) ...[/tex]

[tex]3+ (3+7(n-1)) + (3+7(n-1)) + (3+7(n-1) ... [/tex]

[tex]3n + 7(n-1) [/tex]

[tex]3n + 7(0,1,2,3,4,5,...(n-1))[/tex]

[tex]3n + 7 (\frac{n^2-n}{2})[/tex]

Kan du gi meg en lignende utfordring, vektormannen ?

[mathme]

Ok jeg prøver meg på denne:

[tex]2+12+32+62+...+362[/tex]

[tex]2+(2+10)+(2+10+20)+(2+10+20+30)...[/tex]

[tex]2n + (10)+(10+20)+(10+20+30)...[/tex]

[tex]2n + 10((1)+(10+2)+(10+20+3))[/tex]

Men jeg forstår ikke hva jeg skal gjøre videre

[espen180]

Tja, hva med å finne [tex]S_n[/tex] for [tex]a_n=10n[/tex]?

[mathme]

Tja, hva med å finne [tex]S_n[/tex] for [tex]a_n=10n[/tex]?

Hva betyr det

[mathme]

Jeg prøvde meg igjen;

[tex]2+12+32+62+...+362[/tex]

[tex]2+ (2+10)+(2+10+20)....[/tex]

[tex]2n + ((10)+(10+20)+(10+20+30))...[/tex]

[tex]2n + 10(1,3,6,10,15,21...) [/tex]

[tex]2n + 10 (0,5n^2+0,5n)[/tex]

[tex]2n + 5n^2 + 5n[/tex]

[tex]5n^2+7n[/tex]

Men når jeg tester det, blir allt galt:

[tex]5 \cdot 1^2 + 7 \cdot 1 = 12 [/tex]

[tex]5 \cdot 3^2 + 7 \cdot 3 = 66 [/tex]

[espen180]

Summen du ville ha i sted var [tex]S_n[/tex] for [tex]a_n=2+\sum_{i=1}^n 10(i-1)[/tex]

Vi starter med å forenkle uttrykket vi har for [tex]a_n[/tex]:

[tex]\sum_{i=1}^n 10(i-1)=5(n^2-n) \\ a_n=5n^2-5n+2[/tex]


Alternativt kan vi se på [tex]a_n[/tex] som
[tex]a_n=2n+10(n-1)+20(n-2)+30(n-3)+...+10(n-2)(n-n+2)+10(n-1)(n-n+1)[/tex]
hvis det hjelper.

[mathme]

Summen du ville ha i sted var [tex]S_n[/tex] for [tex]a_n=2+\sum_{i=1}^n 10(i-1)[/tex]

Vi starter med å forenkle uttrykket vi har for [tex]a_n[/tex]:

[tex]\sum_{i=1}^n 10(i-1)=5(n^2-n) \\ a_n=5n^2-5n+2[/tex]


Alternativt kan vi se på [tex]a_n[/tex] som
[tex]a_n=2n+10(n-1)+20(n-2)+30(n-3)+...+10(n-2)(n-n+2)+10(n-1)(n-n+1)[/tex]
hvis det hjelper.

Siden jeg ikke har kommet så langt som du har, så er det vanskelig å forstå det som står over. Jeg har aldri før hatt rekker, og dermed er jeg nokså nybegynner. Men kan du se hvorfor jeg får 2n istedet for 2 i denne løsningen:

[tex]2 + (2+10) + (2+10+20) + (2+10+20+30)...[/tex]

[tex]2n + ((10)+(10+20)+(10+20+30))[/tex]

[tex]2n + 10(0,1,3,6,10,15...)[/tex]

[tex]2n + 10 (\frac{n(n-1)}{2})[/tex]

[tex]2n + 5n^2 - 5n[/tex]

Som du ser, jeg får 2n, istedet for 2... kan du plis se hva som går galt ?